Question

如图1，直线l过正方形ABCD的顶点B，A、C两顶点在直线l同侧，过点A、C分别作AE⊥直线l、CF⊥直线l，垂足分别为E、F．
（1）求证：EF=AE+CF；
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠ABC=90°
∵AE⊥直线l、CF⊥直线l．
∴∠AEB=∠BFC=90°
∴∠EAB+∠ABE=90°，
又∵∠ABE+∠CBF=180°-∠ABC=180°-90°=90°
∴______（同角的余角相等）
在△AEB与△BFC中
∵（______）
∴△AEB≌△BFC（______）
∴______（______）
∵EF=BF+EB
∴EF=AE+CF（等量代换）
（2）当A、C两顶点在直线l的两侧时（如图2），其它条件不变，那么EF、AE、CF满足什么数量关系？并证明你所得到的结论．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°．
∵AE⊥直线l、CF⊥直线l，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠EAB+∠ABE=90°，
∵∠ABE+∠CBF=180°-∠ABC=180°-90°=90°，
∴∠EAB=∠CBF（同角的余角相等）．
在△AEB与△BFC中
∵，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE=BF，EB=FC （全等三角形的对应边相等）．
∵EF=BF+EB，
∴EF=AE+CF（等量代换）．
故答案为：∠EAB=∠CBF，，AAS，AE=BF，EB=FC，全等三角形的对应边相等．
（2）解：结论：EF=AE-CF
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°．
∵AE⊥直线l、CF⊥直线l，
∴∠AEB=∠BFC=90°．
∵∠ABE+∠CBF=90°
∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF（同角的余角相等）．
在△AEB与△BFC中
，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE=BF，BE=CF （全等三角形的对应边相等）．
∵EF=BF-BE，
∴EF=AE-CF（等量代换）．
分析：（1）根据正方形的性质就可以得出AB=BC，∠ABC=90°，再根据余角的性质就可以得出∠EAB=∠CBF，从而根据AAS可以证明△AEB≌△BFC，得出AE=BF，EB=FC就可以得出结论；
（2）根据正方形的性质及条件证明△AEB≌△BFC就可以得出AE=BF，BE=CF，从而可以得出结论．
点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，余角的性质的运用，垂直的性质的运用，解答本题是证明三角形全等利用性质解题是关键．