Question

11．如图，以O（0，0）、A（2，0）为顶点作正△OAP₁，以点P₁和线段P₁A的中点B为顶点作正△P₁BP₂，再以点P₂和线段P₂B的中点C为顶点作△P₂CP₃，…，如此继续下去，则第五个正三角形中，不在第四个正三角形上的顶点P₅的坐标是（2，$\frac{5\sqrt{3}}{8}$）．

Answer 1

分析 根据三角形的变化找出各三角形的边长，再根据点P的分布，分布找出各P点的坐标即可得出结论．

解答 解：第一个正三角形的边长2，第二个为1，第三个为$\frac{1}{2}$，第四个为$\frac{1}{4}$，第五个为$\frac{1}{8}$，
 即OA=2，P₁P₂=1，P₂P₃=$\frac{1}{2}$，P₃P₄=$\frac{1}{4}$，P₄P₅=$\frac{1}{8}$．
P₁（$\frac{1}{2}$OA，$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA）=（1，$\sqrt{3}$），P₂（1+P₁P₂，$\sqrt{3}$）=（2，$\sqrt{3}$），P₃（2+$\frac{1}{2}$P₂P₃，$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$P₂P₃）=（$\frac{9}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），P₄（$\frac{9}{4}$-$\frac{1}{2}$P₃P₄，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$P₃P₄）=（$\frac{17}{8}$，$\frac{5\sqrt{3}}{8}$），P₅=（$\frac{17}{8}$-P₄P₅，$\frac{5\sqrt{3}}{8}$）=（2，$\frac{5\sqrt{3}}{8}$）．
故答案为：（2，$\frac{5\sqrt{3}}{8}$）．

点评 本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出各等边三角形的边长．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标的变化找出规律是关键．