Question

【题目】对于给定的图形G和点P，若点P可通过一次向上或向右平移n（n＞0）个单位至图形G上某点P′，则称点P为图形G的“可达点”，特别地，当点P在图形G上时，点P为图形G的“可达点”．

（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1），B（2，1），

①在点O、A、B中，不是直线y＝﹣x+2的“可达点”的是　 　；

②若点A是直线l的“可达点”且点A不在直线l上，写出一条满足要求的直线l的表达式：　 　；

③若点A、B中有且仅有一点是直线y＝kx+2的“可达点”，则k的取值范围是　 　．

（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，直线l：y＝﹣x+b．

①当b＝﹣2时，若直线m上一点N（xN，yN）满足N是⊙O的“可达点”，直接写出xN的取值范围　 　；

②若直线m上所有的⊙O的“可达点”构成一条长度不为0的线段，直接写出b的取值范围　 　．

Answer 1

【答案】（1）①B；②y＝﹣x+3；③﹣1≤k＜﹣；（2）①﹣3≤xN≤﹣或﹣1≤xN≤1；②﹣1﹣≤b＜．

【解析】

（1）①根据“可达点”的定义即可解决问题．

②答案不唯一，直线在点A的上方即可．

③求出直线y＝kx+2经过点A或点B时k的值即可判断．

（2）①过点（0，1）和点（0，﹣1）作x轴的平行线分别交直线y＝﹣x﹣2于N1（﹣3，1），N2（﹣，﹣1），过点（1，0）和点（﹣1，0）作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x﹣2于N3（1，﹣﹣2），N4（﹣1，﹣2），由此即可判断．

②当N2与N3重合，坐标为（﹣1，﹣1）时，﹣1＝+b，可得b＝﹣1﹣，当直线y＝x+b与⊙O相切时，设切点为E，交y轴于F，求出点E的坐标，即可判断．

解：（1）①如图1﹣1中，

由题意，点O，点A是直线y＝﹣x+2的“可达点”，点B不是直线y＝﹣x+2的“可达点“，

故答案为B．

②如图1﹣2中，点A是直线y＝﹣x+3的“可达点”且点A不在直线l上（答案不唯一，直线在点A的上方即可）．

故答案为y＝﹣x+3．

③如图1﹣3中，

当直线y＝kx+2经过点B时，k＝﹣，

当直线y＝kx+2经过点A时，k＝﹣1，

观察图象可知：当点A、B中有且仅有一点是直线y＝kx+2的“可达点”，k的取值范围是﹣1≤k＜﹣．

故答案为﹣1≤k＜﹣．

（2）①如图2﹣1中，

过点（0，1）和点（0，﹣1）作x轴的平行线分别交直线y＝﹣x﹣2于N1（﹣3，1），N2（﹣，﹣1），

过点（1，0）和点（﹣1，0）作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x﹣2于N3（1，﹣﹣2），N4（﹣1，﹣2），

观察图象可知：N是⊙O的“可达点”，xN的取值范围﹣3≤xN≤﹣或﹣1≤xN≤1．

故答案为﹣3≤xN≤﹣或﹣1≤xN≤1．

②如图2﹣2中，

①当N2与N3重合，坐标为（﹣1，﹣1）时，﹣1＝+b，

∴b＝﹣1﹣，

②当直线y＝x+b与⊙O相切时，设切点为E，交y轴于F．

由题意在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，OE＝1，∠EOF＝30°，

OF＝＝，

观察图象可知满足条件的b的值为﹣1﹣≤b＜．