Question

聪明好学的小敏查阅有关资料发现：用不过圆锥顶点且平行于一条母线的平面截圆锥所得的截面为抛物面，即图（1）中曲线CFD为抛物线的一部分．圆锥体SAB的母线长为10，侧面积为50π，圆锥的截面CFD交母线SB于F，交底面圆P于C、D，AB⊥CD，垂足为O，OF∥SA且OF⊥CD，OP=4．
（1）求底面圆的半径AP的长及圆锥侧面展开图的圆心角的度数；
（2）当以CD所在直线为x轴，OF所在的直线为y轴建立如图（2）所示的直角坐标系．求过C、F、D三点的抛物线的函数关系式；
（3）在抛物面CFD中能否截取长为5.6，宽为2.2的矩形？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件，结合圆锥侧面面积公式，即可求出底面面积AP及圆锥侧面展开图的圆心角的度数；
（2）连接CP，根据勾股定理，可求出OC和OD的长度，根据SA=SB=AB=10可以得到等边三角形，即可推出OF=OB=9，所以在坐标系中就可以求出抛物线的解析式；
（3）本题要进行分析讨论，当长边平行于CD时，x=5.6÷2=2.8时，y=-2.8²+9＜2.2，（符合题意），当短边平行于CD时，x=2.2÷2=1.1时，y=-1.1²+9＞5.6（不合题意，舍去）．

解答：解：（1）设AP=r，则

1

2

×2πr×10=50π，
∴r=5．（1分）
设圆心角的度数为n，则nπ×10²÷360=50π
∴n=180°，AP=5
答：AP的长5，圆锥侧面展开图的圆心角度数为180°；（2分）

（2）连接CP，在Rt△COP中，CP=5，OP=4，
∴CO=3（3分）
∵P为圆心，PO⊥CD，
∴CO=DO，即AB垂直平分CD．
∵AB=10，SA=SB=10，
∴△SAB为等边三角形，
∴∠SAB=∠ABS=60°，
∵FO∥SA，
∴∠FOB=∠OBF=60°，
∴FO=OB=4+5=9，
∴F（0，9），（5分）
因为AB垂直平分CD，
∴F为过C、F、D三点的抛物线的顶点，
设抛物线的关系式y=ax²+9，过C（-3，0）得
a（-3）²+9=0，
∴a=-1，
∴y=-x²+9；（7分）

（3）当x=5.6÷2=2.8时，y=-2.8²+9＜2.2，（8分）
当x=2.2÷2=1.1时，y=-1.1²+9＞5.6（9分）
∴由矩形与抛物线的对称性可知，能截取长为5.6，宽为2.2的矩形（10分）．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定理，圆锥侧面积公式等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．