Question

【题目】定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P的纵坐标与其横坐标的差称为P点的“坐标差”，记作Zp，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．

（1）①点A（3，1）的“坐标差”为 ；

②求抛物线的“特征值”；

（2）某二次函数的“特征值”为，点B，与点C分别是此二次函数的图象与轴和轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．

①直接写出 ；（用含的式子表示）

②求此二次函数的表达式．

Answer 1

【答案】（1）①；②抛物线的“特征值”为4；（2）①；②．

【解析】

(1)①由“坐标差”的定义可求出点A(3,1)的“坐标差”;

②用y-x可找出y-x关于x的函数关系式,再利用配方法即可求出y-x的最大值,进而可得出抛物线y=-x +5x的“特征值”;

(2)①利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标,由“坐标差”的定义结合点B与点C的“坐标差"相等,即可求出m的值;

②由点B的坐标利用待定系数法可找出b,c之间的关系,找出y-x关于x的函数关系式,再利用二次函数的性质结合二次函数y=-x +bx+c(c≠0)的“特征值"为-1,即可得出关于b的一元二次方程,解之即可得出b的值,进而可得出c的值,此问得解;

解：（1）①

②，

∵，

∴当时，y-x取得最大值，最大值为4．

∴抛物线的“特征值”为4．

（2）①-c

②由①可知：点B的坐标为，．

将点B，代入，得：，

∴（舍去）．

∵二次函数的“特征值”为，

∴的最大值为，

∴，

解得：，

∴，

∴二次函数的解析式为．