Question

16．如图，抛物线y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-4$\sqrt{3}$x+6$\sqrt{3}$与x轴交于A、B，点P为顶点，在直线y=$\sqrt{3}$x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 先运用待定系数法求出直线PB的解析式，由于该直线与OD的比例系数相同，得到PB∥OD，根据平行四边形的判定，可知如果OP∥BD，那么四边形OPBD为平行四边形．再求出直线OP的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，那么可设直线BD的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+n，将B（6，0）代入，运用待定系数法求出直线BD的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+3$\sqrt{3}$，然后解方程组
$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，即可求出D点的坐标，再利用当PD∥OB，交y=$\sqrt{3}$x于点D，进而得出另一个交点坐标．

解答 解：在直线y=$\sqrt{3}$x上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形．理由如下：
设直线PB的解析式为y=kx+b，
把B（6，0），P（4，-2$\sqrt{3}$）分别代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{4k+b=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得
$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-6\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线PB的解析式为y=$\sqrt{3}$x-6$\sqrt{3}$．
∵直线OD的解析式为y=$\sqrt{3}$x，
∴直线PB∥OD．
设直线OP的解析式为y=mx，
把P（4，-2$\sqrt{3}$）代入，
得4m=-2$\sqrt{3}$，解得m=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
如果OP∥BD，那么四边形OPBD为平行四边形．
设直线BD的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+n，
将B（6，0）代入，得0=-3$\sqrt{3}$+n，
解得n=3$\sqrt{3}$，
∴直线BD的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+3$\sqrt{3}$．
解方程组
$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴D点的坐标为（2，2$\sqrt{3}$），
当PD∥OB，交y=$\sqrt{3}$x于点D，
∵B（6，0），P（4，-2$\sqrt{3}$），
∴D点横坐标为：-2，纵坐标为：-2$\sqrt{3}$，
∴D（-2，-2$\sqrt{3}$），
代入y=$\sqrt{3}$x，符合题意，
综上所述：符合题意的点的坐标为：（-2，-2$\sqrt{3}$），（2，2$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定，两函数交点坐标的求法等知识，综合性很强，旨在考查同学们的逻辑思维能力、综合运用能力．