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【题目】如图,⊙O的直径AB=20PAB上(不与点AB重合)的任一点,点CD为⊙O上的两点,若∠APD=BPC,则称∠DPC为直径AB回旋角,利用圆的对称性可知:回旋角DPC的度数与弧CD的度数相等.

1)若∠DPC为直径AB回旋角,且∠DPC=100°,求∠APD的大小;

2)若直径AB回旋角90°,且PCD的周长为,求AP的长.

【答案】140°;(2

【解析】

1)根据回旋角的定义可得∠APD=BPC,结合∠DPC=100°可求∠APD的大小;

2)如图三,延长DP交⊙O于点E,连结CEOCOD,根据勾股定理求出,可得PC+PD=16,然后在RtDPC中,利用勾股定理构造方程求出PD=2PC=14,或PD=14PC=2,然后分情况讨论,利用DPA∽△BPE列出比例式,分别求出相应的AP的长即可.

解:(1)∵∠DPC为直径AB回旋角

∴∠APD=BPC

又∵∠DPC=100°

∴∠APD+BPC=180°-100°=80°

∴∠APD=40°

2)如图三,∠DPC=90°,延长DP交⊙O于点E,连结CEOCOD

回旋角DPC的度数与弧CD的度数相等,

∴∠DOC=90°

PCD的周长为

PC+PD=16

PD=x,则PC=16-x),

RtDPC中,PD2+PC2=CD2,即

解得:x1=2x2=14

PD=2PC=14,或PD=14PC=2

∵∠DOC=90°,∠DPC=90°

∴∠DEC=45°

PE=PC

①当PD=2PE=PC=14时,连结ADBE

∵∠DAB=DEB,∠DPA=BPE

∴△DPA∽△BPE

,即

解得:(已舍去不合题意的值),

②当PD=14PE=PC=2时,

同理可得:.

综上,AP的长为:.

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