【题目】如图,⊙O的直径AB=20,P是AB上(不与点A,B重合)的任一点,点C,D为⊙O上的两点,若∠APD=∠BPC,则称∠DPC为直径AB的“回旋角”,利用圆的对称性可知:“回旋角”∠DPC的度数与弧CD的度数相等.
(1)若∠DPC为直径AB的“回旋角”,且∠DPC=100°,求∠APD的大小;
(2)若直径AB的“回旋角”为90°,且△PCD的周长为,求AP的长.
【答案】(1)40°;(2)或
【解析】
(1)根据“回旋角”的定义可得∠APD=∠BPC,结合∠DPC=100°可求∠APD的大小;
(2)如图三,延长DP交⊙O于点E,连结CE、OC、OD,根据勾股定理求出,可得PC+PD=16,然后在Rt△DPC中,利用勾股定理构造方程求出PD=2,PC=14,或PD=14,PC=2,然后分情况讨论,利用△DPA∽△BPE列出比例式,分别求出相应的AP的长即可.
解:(1)∵∠DPC为直径AB的“回旋角”,
∴∠APD=∠BPC,
又∵∠DPC=100°,
∴∠APD+∠BPC=180°-100°=80°,
∴∠APD=40°;
(2)如图三,∠DPC=90°,延长DP交⊙O于点E,连结CE、OC、OD,
∵“回旋角”∠DPC的度数与弧CD的度数相等,
∴∠DOC=90°,
∴,
∵△PCD的周长为,
∴PC+PD=16,
设PD=x,则PC=(16-x),
在Rt△DPC中,PD2+PC2=CD2,即,
解得:x1=2,x2=14,
∴PD=2,PC=14,或PD=14,PC=2,
∵∠DOC=90°,∠DPC=90°,
∴∠DEC=45°,
∴PE=PC,
①当PD=2,PE=PC=14时,连结AD,BE,
∵∠DAB=∠DEB,∠DPA=∠BPE,
∴△DPA∽△BPE,
∴,即,
解得:(已舍去不合题意的值),
②当PD=14,PE=PC=2时,
同理可得:.
综上,AP的长为:或.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为( )
A. 3B. 或6C. D. 3或
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【题目】市面上贩售的防晒产品标有防晒指数,而其对抗紫外线的防护率算法为:防护率,其中.
请回答下列问题:
(1)厂商宣称开发出防护率的产品,请问该产品的应标示为多少?
(2)某防晒产品文宣内容如图所示.
请根据与防护率的转换公式,判断此文宣内容是否合理,并详细解释或完整写出你的理由.
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【题目】商场某种新商品每件进价是,在试销期间发现,当每件商品售价为元时,每天可销售件,当每件商品售价高于元时,每涨价元,日销售量就减少件.据此规律,请回答:
(1)当每件商品售价定为元时,每天可销售多少件商品,商场获得的日盈利是多少?
(2)在上述条件不变,商品销售正常的情况下,每件商品的销售价定为多少元时,商场日盈利可达到元?(提示:盈利售价进价)
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【题目】如图,等边三角形ABC的边长为cm,在AC,BC边上各取一点E,F,使得AE=CF,连接AF,BE相交于点P.(1)则∠APB=______度;(2)当点E从点A运动到点C时,则动点P经过的路径长为________cm.
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【题目】小琴的父母承包了一块荒山地种植一批梨树,今年收获一批金溪密梨,小琴的父母打算以m元/斤的零售价销售5000斤密梨;剩余的5000(m+1)斤密犁以比零售价低1元的批发价批给外地客商,预计总共可赚得55 000元的毛利润.
(1)求小琴的父母今年共收获金溪密梨多少斤?
(2)若零售金溪密梨平均每天可售出200斤,每斤盈利2元.为了加快销售和获得较好的售价,采取了降价措施,发现销售单价每降低0.1元,平均每天可多售出40斤,应降价多少元?每天销售利润为600元.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣2,﹣4),O(0,0),B(2,0)三点.
(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;
(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点都在小方格的格点上.
(1)点A的坐标是 ;点C的坐标是 ;
(2)以原点O为位似中心,将△ABC缩小,使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为1:2,请在网格中画出△A1B1C1;
(3)△A1B1C1的面积为 .
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