Question

9．已知关于x的方程mx+2=x①的根是负实数，（m-2）x²+（2m-3）x-1+m=0②有实根
（1）求m的取值范围；
（2）若两个方程的根均为整数，求整数m的值；
（3）求证：无论m取何值，抛物线y=（m-2）x²+（2m-3）x-1+m总经过一个定点；
（4）在（2）的条件下，若a是两方程中较大的整数根，对于b取任意实数，关于x的方程ax²-2bx+c+b=0都有实根，求c的最小值．

Answer 1

分析 （1）先根据关于x的方程mx+2=x的根是负实数得出关于m的不等式，再根据m-2）x²+（2m-3）x-1+m=0有实根可知△≥0，求出m的取值范围即可；
（2）首先有①得出x为整数得出m的取值，代入②求得方程的解验证即可；
（3）令y=0，求得方程的解，得出答案即可；
（4）求得x的解，得出a的值，利用根的判别式进一步分析探讨得出答案即可．

解答 （1）解：∵mx+2=x，
∴x=-$\frac{2}{m-1}$，
∵方程的根是负数，
∴-$\frac{2}{m-1}$＜0，解得m＞1；
∵（m-2）x²+（2m-3）x-1+m=0有实根，
∴△=（2m-3）²-4（m-2）（m-1）≥0，解得m为任意实数，
∴m＞1．
∴m的取值范围：m＞1；

（2）解：解方程mx+2=x得：x=-$\frac{2}{m-1}$，
若方程的根均为整数，则m=0，-1，3，
①当m=0时，方程为-2x²-3x-1=0解得x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂=-1，
②当m=-1时，方程为-3x²-5x-2=0解得x₁=-$\frac{2}{3}$，x₂=-1，
③当m=3时，方程为x²+3x+2=0解得x₁=-2，x₂=-1，
若两个方程的根均为整数，整数m的值是3；

（3）证明：∵当y=0时，即（m-2）x²+（2m-3）x-1+m=0，
解得x₁=-1，x₂=$\frac{m-1}{m-2}$，
∴无论m取何值，抛物线y=（m-2）x²+（2m-3）x-1+m总经过一个定点（-1，0）；

（4）当m=3，方程x²+3x+2=0的两个根为-1，-2；
则a=-1，
方程-x²-2bx+c+b=0都有实根，
则4b+4（b+c）≥0，
（2b+1）²+4c-1≥0，
4c-1≥0，
c≥$\frac{1}{4}$
c的最小值是$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；以及解方程的步骤与方法．