Question

如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S_△MAO=S_△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．

Answer 1

解：（1）∵OA=OC，∠OAC=60°，
∴△OAC是等边三角形，
故∠AOC=60°．

（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；
∴AC=OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，
而OC是⊙O的半径，故PC与⊙O的位置关系是相切．

（3）如图；有三种情况：
①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M₁（2，-2）；
劣弧MA的长为：=；
②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M₂（-2，-2）；
劣弧MA的长为：=；
③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M₃（-2，2）；
优弧MA的长为：=；
④当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时M₄（2，2）；
优弧MA的长为：=；
综上可知：当S_△MAO=S_△CAO时，动点M所经过的弧长为、、、，
对应的M点坐标分别为：M₁（2，-2）、M₂（-2，-2）、M₃（-2，2）、M₄（2，2）．
分析：（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°．
（2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系．
（3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解．
点评：此题主要考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意（3）题中分类讨论思想的运用，不要漏解．