Question

18．如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BD交AF于H，AD=10$\sqrt{2}$，且tan∠EFC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，那么AH的长为（　　）

• A． $\frac{10\sqrt{6}}{3}$
• B． 5$\sqrt{2}$
• C． 10
• D． 5

Answer 1

分析 根据线段中点的定义可得CE=DE，根据矩形的对边平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE=∠CFE，然后利用“角角边”证明△ADE和△CFE全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=AD，再求出BF，然后利用tan∠EFC求出AB，再利用勾股定理列式求出AF，再求出△ADH和△FBH相似，根据相似三角形对应边成比例求出$\frac{AH}{FH}$，再求解即可．

解答 解：∵E为CD的中点，
∴CE=DE，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAE=∠CFE，
在△ADE和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CFE}\\{∠AED=∠FEC}\\{CE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴CF=AD=10$\sqrt{2}$，
∴BF=BC+CF=AD+CF=10$\sqrt{2}$+10$\sqrt{2}$=20$\sqrt{2}$，
∵tan∠EFC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴AB=20$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{4}$=10，
在Rt△ABF中，AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+（20\sqrt{2}）^{2}}$=30，
∵AD∥BC，
∴△ADH∽△FBH，
∴$\frac{AH}{FH}=\frac{AD}{BF}$=$\frac{10\sqrt{2}}{20\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴AH=$\frac{1}{1+2}$AF=$\frac{1}{3}$×30=10．
故选C．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．