精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
18.如图,矩形ABCD中,E为CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,连接BD交AF于H,AD=10$\sqrt{2}$,且tan∠EFC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$,那么AH的长为(  )
A.$\frac{10\sqrt{6}}{3}$B.5$\sqrt{2}$C.10D.5

分析 根据线段中点的定义可得CE=DE,根据矩形的对边平行可得AD∥BC,再根据两直线平行,内错角相等可得∠DAE=∠CFE,然后利用“角角边”证明△ADE和△CFE全等,根据全等三角形对应边相等可得CF=AD,再求出BF,然后利用tan∠EFC求出AB,再利用勾股定理列式求出AF,再求出△ADH和△FBH相似,根据相似三角形对应边成比例求出$\frac{AH}{FH}$,再求解即可.

解答 解:∵E为CD的中点,
∴CE=DE,
在矩形ABCD中,AD∥BC,
∴∠DAE=∠CFE,
在△ADE和△CFE中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CFE}\\{∠AED=∠FEC}\\{CE=DE}\end{array}\right.$,
∴△ADE≌△CFE(AAS),
∴CF=AD=10$\sqrt{2}$,
∴BF=BC+CF=AD+CF=10$\sqrt{2}$+10$\sqrt{2}$=20$\sqrt{2}$,
∵tan∠EFC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$,
∴AB=20$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{4}$=10,
在Rt△ABF中,AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+(20\sqrt{2})^{2}}$=30,
∵AD∥BC,
∴△ADH∽△FBH,
∴$\frac{AH}{FH}=\frac{AD}{BF}$=$\frac{10\sqrt{2}}{20\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$,
∴AH=$\frac{1}{1+2}$AF=$\frac{1}{3}$×30=10.
故选C.

点评 本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,解直角三角形,勾股定理,综合题,但难度不大,熟记各性质是解题的关键.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

8.平面上有n个点(n≥2)且任意三个点不在同一直线上,过这些点中的任两点作直线,一共能作出多少条不同的直线?
①分析:当仅有两个点时,可连成1条直线;当有3个点时,可作出3条直线;当有4个点时,可作出6条直线;当有5个点时,可作出10条直线,当有6点时,可作出15条直线.
②归纳:考察点的个数n和可作出直线的条数Sn发现如下表所示:Sn=$\frac{n(n-1)}{2}$.
点的个数可连成直线条数
2 l=S2=$\frac{2×1}{2}$
33=S3=$\frac{3×2}{2}$
4 6=S4=$\frac{4×3}{2}$
5 10=S5=$\frac{5×4}{2}$
n Sn=$\frac{n(n-1)}{2}$
③当有2006个点时,可作出直线的条数S2006=2011015.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

9.$-\frac{1}{3}$的相反数是$\frac{1}{3}$,$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$>$\frac{1}{2}$.(填“>”、“<”或“=”)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

6.阅读材料并解答问题,我们已经知道,完全平方式可以用几何图形来表示,实际上还有些代数式恒等式也可以用这种形式表示,例如(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图1、图2等图形的面积表示.
(1)请你写出图3所表示的代数恒等式;
(2)试画出一个几何图形,使它的面积能表示为(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2(3)请仿照上述方法另写一个含有的代数恒等式,并画出与之相对应的几何图形.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

13.如图所示,一列快车从甲地开往乙地,一列慢车从乙地开往甲地,两车同时出发,设慢车行驶的时间为x小时,两车之间的距离为y千米,图中的折线表示y与x之间的函数关系,则快车的速度是$166\frac{2}{3}$千米/小时.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

3.一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆,公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)有如表关系:
 x 300030503100 31503200 32503300 
 y 10099 9897 9695 94
(1)观察表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y(辆)与每辆车的月租金x(元)之间的关系式
(2)已知租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车辆每月需要维护费50元,当租金定为3500元时,试求公司月收益为多少?
(3)根据市场调查报告,公司需要使每月出租的车辆不低于80辆,若你是该公司的经理,你会将每辆车的月租金定为多少元,才能使公司获得最大月收益?请求出公司的最大月收益是多少元.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

10.一辆轿车从甲地驶往乙地,到达乙地后立即返回甲地,速度是原来的1.5倍,往返共用t小时;一辆货车同时从甲地驶往乙地,到达乙地后停止,两车同时出发,匀速行驶,设轿车行驶的时间为x(h),两车离开甲地的距离为y(km),两车行驶过程中y与x之间的函数图象如图所示.
(1)轿车从乙地返回甲地的速度为120km/h,t=$\frac{5}{2}$;
(2)求轿车从乙地返回甲地时y与x之间的函数关系式;
(3)当轿车从甲地返回乙地的途中与货车相遇时,求相遇处到甲地的距离.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

7.某快餐公司最新推出A、B两种营养配餐,成本价分别为5元/份和10元/份,近两周的销售情况如下表:
销售时段A种配餐销售量B种配餐销售量销售额
第一周100份300份5500元
第二周200份400份8000元
(1)求A、B两种营养配餐的销售价格分别为多少元?
(2)若快餐公司准备6000元资金全部用来购买制作A、B两种快餐的原材料,考虑市场需要,要求制作的B种快餐的数量不少于A种快餐数量的2倍.那么该快餐公司至少要制作B种快餐多少份?
(3)在(2)的条件下,该快餐公司要获得最大利润,那么要制作B种快餐多少份?最大利润是多少元?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

8.如图,点A是以O为圆心的圆上的一个动点,点C是x轴正半轴上的一个动点,BC∥OA,AB∥x轴.
(1)四边形OABC是平行四边形,这是因为BC∥OA,AB∥x轴;
(2)当点A运动到y轴时,四边形OABC是矩形,这是因为∠AOC=90°;
(3)当点C运动到圆上时,四边形OABC是菱形,这是因为OA=OC.

查看答案和解析>>

同步练习册答案