Question

2．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是图形W上的任意两点．
定义图形W的测度面积：若|x₁-x₂|的最大值为m，|y₁-y₂|的最大值为n，则S=mn为图形W的测度面积．
例如，若图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x₁-x₂|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y₁-y₂|取得最大值，且最大值n=2．则图形W的测度面积S=mn=4
（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1．
①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=1；
②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S=1；
（2）若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的最大值为2；
（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由测度面积的定义利用它的测度面积S=|OA|•|OB|求解即可；
②利用等腰直角三角形的性质求出AC，AB，利用测度面积S=|AB|•|OC|求解即可；
（2）先确定正方形有最大测度面积S时的图形，即可利用测度面积S=|AC|•|BD|求解．
（3）分两种情况当A，B或B，C都在x轴上时，当顶点A，C都不在x轴上时分别求解即可．

解答 解：（1）①如图3，

∵OA=OB=1，点A，B在坐标轴上，
∴它的测度面积S=|OA|•|OB|=1，
故答案为：1．
②如图4，

∵AB⊥x轴，OA=OB=1．
∴AB=$\sqrt{2}$，OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴它的测度面积S=|AB|•|OC|=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
故答案为：1．
（2）如图5，图形的测度面积S的值最大，

∵四边形ABCD是边长为1的正方形．
∴它的测度面积S=|AC|•|BD|=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，
故答案为：2．
（3）设矩形ABCD的边AB=4，BC=3，由已知可得，平移图形W不会改变其测度面积的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上，
当A，B或B，C都在x轴上时，
如图6，图7，

矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积，此时S=12．
当顶点A，C都不在x轴上时，如图8，过点A作直线AH⊥x轴于点E，过C点作CF⊥x轴于点F，过点D作直线GH∥x轴，分别交AE，CF于点H，G，则可得四边形EFGH是矩形，

当点P，Q与点A，C重合时，|x₁-x₂|的最大值为m=EF，|y₁-y₂|的最大值为n=GF．
图形W的测度面积S=EF•GF，
∵∠ABC+∠CBF=90°，∠ABC+∠BAE=90°，
∴∠CBF=∠BAE，
∵∠AEB=∠BFC=90°，
∴△AEB∽△BFC，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{EB}{FC}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
设AE=4a，EB=4b，（a＞0，b＞0），则BF=3a，FC=3b，
在RT△AEB中，AE²+BE²=AB²，
∴16a²+16b²=16，即a²+b²=1，
∵b＞0，
∴b=$\sqrt{1-{a}^{2}}$，
在△ABE和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠G}\\{∠ABE=∠CDG}\\{AB=CD}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CDG（AAS）
∴CG=AE=4a，
∴EF=EB+BF=4b+3a，GF=FC+CG=3b+4a，
∴图形W的测度面积S=EF•GF=（4b+3a）（3b+4a）=12a²+12b²+25a$\sqrt{1-{a}^{2}}$=12+25$\sqrt{{a}^{2}（1-{a}^{2}）}$=12+25$\sqrt{-（{a}^{2}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$，
当a²=$\frac{1}{2}$时，即a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，测度面积S取得最大值12+25×$\frac{1}{2}$=$\frac{49}{2}$，
∵a＞0，b＞0，
∴$\sqrt{{a}^{2}-{a}^{4}}$＞0，
∴S＞12，
综上所述：测度面积S的取值范围为12≤S≤$\frac{49}{2}$．

点评 本题主要考查了阅读材料题，涉及新定义，三角形相似，三角形全等的判定与性质，勾股定理及矩形，正方形等知识，解题的关键是正确的确定矩形|x₁-x₂|的最大值，|y₁-y₂|的最大值．