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(2005•沈阳)如图,Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片,点O与原点重合,点A在x轴上,点C在y轴上,OC=,∠CAO=30度.将Rt△OAC折叠,使OC边落在AC边上,点O与点D重合,折痕为CE.
(1)求折痕CE所在直线的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)设点M为直线CE上的一点,过点M作AC的平行线,交y轴于点N,是否存在这样的点M,使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)因为∠CAO=30°,由折叠可知∠OCE=∠ECD=∠OCA=30°,
在Rt△COE中,利用三角函数可求OE=OC•tan∠OCE=×=1,从而可求点E的坐标是(1,0).
因为OC=,所以C(0,).
可设直线CE的解析式为y=kx+b,将C、E的坐标代入,可得到关于k、b的方程组,解之即可;
(2)在Rt△AOC中,利用三角函数可求出AC、AO的值,因为CD=OC=,可求出AD=AC-CD=2-=
要求D的坐标,需过点D作DF⊥OA于点F.
在Rt△AFD中,利用三角函数可求DF=AD•sin∠CAO=,AF=AD•cos∠CAO=,所以OF=AO-AF=,从而点D的坐标是();
(3)需分情况讨论:
第一种情况:若此点在第四象限内,可设其为M1,延长DF交直线CE于M1,连接M1O,则有DM1∥y轴.
因为OF=,所以可设点M1的坐标为(,y1),利用点M1在直线CE上,可得y1的值,即可求出点M1的坐标是(,-),所以有DM1=DF+FM1=+=,OC=,所以DM1=OC.
利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知四边形CDM1O为平行四边形.而点O在y轴上,所以点M1是符合条件的点.
第二种情况:此点在第二象限内,设为M2.可过点D作DN∥CE交y轴于N,过N点作NM2∥CD交直线CE于点M2,则四边形M2NDC为平行四边形.
利用平行四边形的对边分别相等,可知M2N=CD=
又因M2N∥CD,DN∥CE,所以∠NM2C=∠ACE,∠OCE=∠M2CN,CN=M2N.
又因M2N=CD=,所以CN=
接着可作M2H⊥y轴于点H,利用两直线平行,内错角相等可得∠M2NC=∠NCD,∴∠M2NH=∠OCA=60°.
在Rt△M2NH中,利用三角函数可求出M2H,NH的值,利用HO=HN+CN+OC=可得M2(-).
解答:解:(1)由题意知∠CAO=30°,
∴∠OCE=∠ECD=∠OCA=30°,
∴在Rt△COE中,OE=OC•tan∠OCE=×=1,
∴点E的坐标是(1,0),
设直线CE的解析式为y=kx+b.
把点C(0,),E(1,0)代入得

∴直线CE的解析式为y=-x+

(2)在Rt△AOC中,AC==2
AO==3,
∵CD=OC=
∴AD=AC-CD=2-=
过点D作DF⊥OA于点F,
在Rt△AFD中,DF=AD•sin∠CAO=
AF=AD•cos∠CAO=
∴OF=AO-AF=
∴点D的坐标是().

(3)存在两个符合条件的M点,
第一种情况:此点在第四象限内,设为M1,延长DF交直线CE于M1
连接M1O,M1O∥AC,
则有DM1∥y轴,
∵OF=
∴设点M1的坐标为(,y1),
又∵点M1在直线CE上,
∴将点M1的坐标代入y=-x+中,
得y1=-×+=-,即FM1=
∴点M1的坐标是(,-),
又∵DM1=DF+FM1=+=,OC=
∴DM1=OC,
又∵DM1∥OC,
∴四边形CDM1O为平行四边形,
又∵点O在y轴上,
∴点M1是符合条件的点.
第二种情况:此点在第二象限内,设为M2
过点D作DN∥CE交y轴于N,过N点作NM2∥CD交直线CE于点M2
则四边形M2NDC为平行四边形,
∴M2N=CD=
∵M2N∥CD,DN∥CE,
∴∠NM2C=∠ACE,∠OCE=∠M2CN,
∴CN=M2N,
∵M2N=CD=
∴CN=
作M2H⊥y轴于点H,
∵M2N∥CD,
∴∠M2NC=∠NCD,
∴∠M2NH=∠OCA=60°,
在Rt△M2NH中,
M2H=M2N•sin60°=×=
NH=M2N•cos60°=×=
∴HO=HN+CN+OC=
∴M2(-),
∴点M2是符合条件的点,
综上所述,符合条件的两个点的坐标分别为M1,-),M2(-).
点评:本题的解决需要综合运用待定系数法、三角函数等知识,另外解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法.
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