Question

（1997•山西）如图，EC是⊙O的直径，且EC=2，作BC⊥AC于C，使BC=2，过B作⊙O的切线BA交CE的延长线于A，切点为D．
①求证：AD•AB=AO•AC；
②求AE及AD的长．

Answer 1

分析：①连接CD，易证得△AOD∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AD•AB=AO•AC；
②首先设AD=x，AE=y，然后由相似三角形的对应边成比例，得方程

x

y+2

=

1

2

，

y+1

x+2

=

1

2

，继而求得答案．

解答：①证明：连接OD，
∵AB是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ADO=90°，
∵BC⊥AC，
∴∠C=90°，
∴∠ADO=∠C，
∵∠A是公共角，
∴△AOD∽△ABC，
∴AD：AC=AO：AB，
∴AD•AB=AO•AC；

②解：设AD=x，AE=y，
∵EC是⊙O的直径，且EC=2，BC=2，
∴OE=OD=OC=1，
∵△AOD∽△ABC，
∴AD：AC=AO：AB=OD：BC=1：2，
∵AB与BC是⊙O的切线，
∴BD=BC=2，
∴

x

y+2

=

1

2

，

y+1

x+2

=

1

2

，
解得：x=

4

3

，y=

2

3

，
∴AD=

4

3

，AE=

2

3

．

点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及切线长定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．