Question

1．已知⊙O的半径为1，O为坐标原点，AB是⊙O的弦，四边形ABCD是以AB为边的正方形，（点B在x轴上方）
（1）计算与推理：若点C、D在⊙O外，AB的边长为$\sqrt{2}$，点A的坐标为（1，0），则点B的坐标为（0，1）；线段OC的长为$\sqrt{5}$；
（2）小明是解答中发现当AB的长度是$\sqrt{2}$时，无论A、B在⊙O上什么位置（如图1），线段OC的长度不变，你是否同意小明的观点，如果同意．请写出解答过程，若不同意，请说明理由；
（3）如图2，点A（1，0），点B为⊙O上任意一动点：
①点B在⊙O上运动一周时（不与点A重合），直线BD是否总过一定点？若直线BD经过一定点，直接写出这一定点的坐标为（0，1）；若不过一定点，请说明理由．
②分别直接写出在①中的运动过程中线段OC长度的最大值是$\sqrt{2}+1$，最小值为$\sqrt{2}-1$．

Answer 1

分析 （1）如图1，过点C作CH⊥y轴，垂足为H．利用勾股定理的逆定理证明△AOB为直角三角形，然后根据OA=OB可求得点B的坐标，在△BCH中，利用特殊锐角三角函数求得HC=HB=1，从而可求得HC=1，OH=2，依据勾股定理可求得OC的长；
（2）如图2所示，连接OC，过点O作OF⊥CD，交BA于点E，连接OB、OA．先求得OF和CF的长，然后在Rt△OCF中依据勾股定理求得OC的长即可；
（3）如图3，①连接BD交⊙O于E，连接OE．由正方形的性质可知∠ABE=45°，由圆周角定理可知∠AOE=90°，故此可知点E在y轴上，从而可知直线BD过定点（0，1）；②根据三角形全等求得EC=AE=$\sqrt{2}$，当C在y轴的正半轴上时，点C与圆心O距离的最大，从而求得最大值为$\sqrt{2}$+1；当点C在y轴的负半轴上时，点C与圆心O距离的最小，从而求得最小值为$\sqrt{2}$-1．

解答 解：（1）如图1，过点C作CH⊥y轴，垂足为H．

∵OA=OB=1，AB=$\sqrt{2}$，
∴OA²+OB²=AB²．
∴△AOB为直角三角形．
∴点B的坐标为（0，1）．
∵OA=OB，∠BOA=90°
∴∠ABO=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBH=45°．
∴HC=BCsin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$=1，BH=BCcos45°=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=1
∴OH=2，CH=1．
在Rt△OCH中，OC=$\sqrt{H{C}^{2}+O{H}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：（0，1）；$\sqrt{5}$．
（2）同意．
理由：如图2所示，连接OC，过点O作OF⊥CD，交BA于点E，连接OB、OA．

由（1）可知△OAB为等腰直角三角形．
∵OF⊥CD，BA∥CD，
∴OF⊥AB．
∵OE⊥AB，OB=0A，
∴EB=AE．
∴OE=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴OF=OE+EF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∵CF=BE，
∴CF=$\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在Rt△OCF中，OC=$\sqrt{C{F}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
（3）①直线BD过定点（0，1）．
理由：如图3，①连接BD交⊙O于E，连接OE．

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE=45°，
∴∠AOE=90°，
∴OE在y轴上，
∴E（0，1），
∴经过定点E（0，1）；              
②如图4所示：连接CE，AE．

∵∠CBE=∠ABE，AB=BC，BE=BE，
∴△BC'E≌△BAE．
∴CE=AE=$\sqrt{2}$．
当点C在y轴正半轴上时，点C与圆心O距离的最大，最大值为$\sqrt{2}+1$．
如图5所示：连接CE，AE．

∵直线BD恒过点E，
∴点E、D、B在一条直线上．
∵∠CBE=∠ABE，AB=BC，BE=BE，
∴△BC'E≌△BAE．
∴CE=AE=$\sqrt{2}$．
当点C在y轴负半轴上时，点C与圆心O距离的最小，最大值为：$\sqrt{2}-1$．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的性质和判定、正方形的性质、等腰三角形的性质和判定，证得直线BD过一定点（0，1）是解题的关键．