Question

如图，直线分别交x轴、y轴于点A、C，已知P是该直线在第一象限内的一点，PB⊥x轴于点B，S_△APB=9．
（1）求△AOC的面积；
（2）求点P的坐标；
（3）设点R与点P在同一反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴于点T，是否存在点R使得△BRT与△AOC相似，若存在，求点R的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）A（-4，0），C（0，2），
△AOC的面积为4；

（2）∵△AOC∽△ABP，
∴设PB=a，AB=2a，
∵S_△APB=a×2a=9，
解得a=±3（舍负）
即PB=3、AB=6 P的坐标为（2，3）．

（3）由P（2，3）得反比例函数为．
当△RBT∽△ACO时，，
设BT=m，则RT=2m，R（2+m，2m），
代入得，m₁=-3（舍），m₂=1，R（3，2）．
当△RBT∽△CAO时，
同理得：BT=2RT，设RT=n，BT=2n，得：R（2+2n，n），
代入得：（舍去负值），
R（+1，）．
分析：（1）分别令x=0以及y=0求出点A，C的坐标．从而求出△AOC的面积．
（2）证明△AOC∽△ABP，设PB=a，AB=2a，已知S_△APB=9，求出a值后可求出点P的坐标．
（3）设△RBT∽△ACO，利用线段比求出R点坐标，RT，BT．当△RBT∽△CAO得出RT=n，BT=2n，R（2+2n，n）然后代入y=求解．
点评：本题考查的是一次函数的应用，相似三角形的判定等相关知识，综合性较强，难度中上．