Question

3．如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是③④．（写出所有正确说法的序号）．
①方程x²-x-2=0是倍根方程；
②若方程x²-px+2=0是倍根方程，则p=3；
③若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，则（4m+n）（m+n）=0；
④若点（p，q）在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，则关于x的方程px²+3x+q=0是倍根方程．

Answer 1

分析 ①解得方程后即可利用倍根方程的定义进行判断；
②直接利用定义得出（2x）²-2px+2=0，进而求出x的值，即可得出答案；
③根据（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x₁=2，x₂=-$\frac{n}{m}$得到$\frac{n}{m}$=-1，或$\frac{n}{m}$=-4，从而得到m+n=0，4m+n=0，进而得到（4m+n）（m+n）=0正确；
④根据点（p，q）在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上得到pq=2，然后解方程px²+3x+q=0即可得到正确的结论．

解答 解：①解方程x²-x-2=0得：x₁=2，x₂=-1，
∴方程x²-x-2=0不是倍根方程，故①错误；

②∵方程x²-px+2=0是倍根方程，
∴（2x）²-2px+2=0，
整理得：2x²-px+1=0，
则x²-px+2-（2x²-px+1）=0，
整理得：-x²+1=0，
解得：x=±1，
当x=1，则p=3，
当x=-1，p=-3，故此选项错误；

③∵（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x₁=2，x₂=-$\frac{n}{m}$，
∴$\frac{n}{m}$=-1，或$\frac{n}{m}$=-4，
∴m+n=0，4m+n=0，
∵4m²+5mn+n²=（4m+n）（m+n）=0，故②正确；

④∵点（p，q）在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，
∴pq=2，
解方程px²+3x+q=0得：x₁=-$\frac{1}{p}$，x₂=-$\frac{2}{p}$，
∴x₂=2x₁，故③正确；
故答案为：③④．

点评 本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．