Question

16．如图，OB在∠AOC内部，且∠BOC=3∠AOB，OD是∠AOB的平分线，∠BOC=3∠COE，则下列结论：①∠EOC=$\frac{1}{3}$∠AOE； ②∠DOE=5∠BOD； ③∠BOE=$\frac{1}{2}$（∠AOE+∠BOC）；④∠AOE=$\frac{6}{5}$ （∠BOC-∠AOD）．其中正确结论有①②④．

Answer 1

分析 根据∠BOC=3∠AOB，∠BOC=3∠COE，得∠COE=∠AOB，则∠BOC=∠AOE，设∠AOD=x，则∠AOB=∠COE=2x，∠AOE=∠BOC=6x，得出①②④正确，③不正确．

解答 解：①∵∠BOC=3∠AOB，∠BOC=3∠COE，
∴∠COE=∠AOB，
∴∠COE+∠BOE=∠AOB+∠BOE，
∴∠BOC=∠AOE，
∵OD是∠AOB的平分线，
∴∠AOD=∠BOD，
设∠AOD=x，则∠AOB=∠COE=2x，∠AOE=∠BOC=6x，
∴∠COE=$\frac{1}{3}$∠AOE；
所以①正确；
②∵∠DOE=∠BOD+∠BOE=x+4x=5x，
∠BOD=x，
∴∠DOE=5∠BOD，
所以②正确；
③∵∠BOE=4x，
$\frac{1}{2}$（∠AOE+∠BOC）=$\frac{1}{2}$（6x+6x）=6x，
∴∠BOE≠$\frac{1}{2}$（∠AOE+∠BOC），
所以③不正确；
④∵∠AOE=6x，
$\frac{6}{5}$ （∠BOC-∠AOD）=$\frac{6}{5}$（6x-x）=6x，
∴∠AOE=$\frac{6}{5}$ （∠BOC-∠AOD），
所以④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了角平分线的性质和角的和差倍分，一般情况下，根据已知条件得出各角之间的关系，设一个最小角为x°，分别表示出各角的关系，得出相应的结论．