Question

如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，

3

）为圆心，以2

3

长为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E．
（1）求点C、P的坐标；
（2）求证：BE=2OE．

Answer 1

（1）连接PB，∵PA是圆M的直径，∴∠PBA=90°
∴AO=OB=3
又∵MO⊥AB，∴PB∥MO．∴PB=2OM=2

3

∴P点坐标为（3，2

3

）（2分）
在直角三角形ABP中，AB=6，PB=2

3

，
根据勾股定理得：AP=4

3

，
所以圆的半径MC=2

3

，又OM=

3

，
所以OC=MC-OM=

3

，
则C（0，-

3

）（1分）

（2）证明：连接AC．
∵AM=MC=2

3

，AO=3，OC=

3

，
∴AM=MC=AC=2

3

，
∴△AMC为等边三角形（2分）
又∵AP为圆M的直径
得∠ACP=90°
得∠OCE=30°（1分）
∴OE=1，BE=2
∴BE=2OE．（2分）