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    如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AF交CD于E，交BC的延长线于F.

    (1)若∠B＋∠DCF＝180°，求证：四边形ABCD是等腰梯形；

    (2)若E是线段CD的中点，且CF∶CB＝1∶3，AD＝6，求梯形ABCD中位线的长．


     (1)证明：∵∠DCB＋∠DCF＝180°，且∠B＋∠DCF＝180°，∴∠B＝∠DCB.

    ∵四边形ABCD是梯形，

    ∴四边形ABCD是等腰梯形．

    (2)解：∵AD∥BC，

    ∴∠DAE＝∠F.

    ∵E是线段CD的中点，

    ∴DE＝CE.

    又∵∠DEA＝∠FEC，

    ∴△ADE≌△FCE.∴AD＝CF＝6.

    ∵CF∶BC＝1∶3，

    ∴BC＝18.

    ∴梯形ABCD的中位线长是(18＋6)÷2＝12.


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    （结果保留π）

     


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