Question

9．△ABD中，AB=AD，∠BAD=90°，P为直线AB上一动点，AE⊥DP于E，交直线BD于F．
（1）如图：若$\frac{AP}{BP}$=$\frac{1}{2}$，求$\frac{BF}{FD}$的值；
（2）如图2，若$\frac{AP}{AB}$=$\frac{1}{3}$，求$\frac{BF}{FD}$的值．

Answer 1

分析 （1）过F作FG⊥AB于G，得到△BGF是等腰直角三角形，求得BG=GF，通过△APE∽△APD∽△ADE，得到$\frac{PE}{AE}=\frac{AP}{AD}=\frac{AE}{DE}$=$\frac{1}{3}$，设PE=x，AE=3x，推出$\frac{FG}{AG}=\frac{PE}{AE}$=$\frac{1}{3}$，设BG=FG=m，AG=3m，得到AB=4m，根据勾股定理得到BD=4$\sqrt{2}$m，BF=$\sqrt{2}$m，于是得到结论；
（2）过F作FG⊥AB于G，推出△BGF是等腰直角三角形，得到BG=GF，根据已知条件得到$\frac{AP}{AB}=\frac{AP}{AD}$=$\frac{1}{3}$，根据相似三角形的性质得到$\frac{PE}{AE}=\frac{AP}{AD}=\frac{AE}{DE}$=$\frac{1}{3}$，设PE=x，AE=3x求得$\frac{FG}{AG}=\frac{PE}{AE}$=$\frac{1}{3}$，设BG=FG=m，AG=3m，得到AB=2m，根据勾股定理得到BD=2$\sqrt{2}$m，BF=$\sqrt{2}$m，即可得到结论．

解答 解：（1）过F作FG⊥AB于G，
∵AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠B=45°，
∴△BGF是等腰直角三角形，
∴BG=GF，
∵$\frac{AP}{BP}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AP}{AD}$=$\frac{1}{3}$，
∵AE⊥DP于E，
∴∠ADP=∠PAE，
∴△APE∽△APD∽△ADE，
∴$\frac{PE}{AE}=\frac{AP}{AD}=\frac{AE}{DE}$=$\frac{1}{3}$，
设PE=x，AE=3x，
∴DE=9x，
∴AD=3$\sqrt{10}$x，AP=$\sqrt{10}$x，
∴AB=AD=3$\sqrt{10}$x，
∵△AEP∽△AGF，
∴$\frac{FG}{AG}=\frac{PE}{AE}$=$\frac{1}{3}$，
设BG=FG=m，AG=3m，
∴AB=4m，
∴BD=4$\sqrt{2}$m，BF=$\sqrt{2}$m，
∴DF=3$\sqrt{2}$m，
∴$\frac{BF}{FD}$=$\frac{1}{3}$．

（2）过F作FG⊥AB于G，
∵AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠ABD=45°，
∴∠GBF=∠ABD=45°，
∴△BGF是等腰直角三角形，
∴BG=GF，
∵$\frac{AP}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AP}{AD}$=$\frac{1}{3}$，
∵AE⊥DP于E，
∴∠ADP=∠PAE，
∴△APE∽△APD∽△ADE，
∴$\frac{PE}{AE}=\frac{AP}{AD}=\frac{AE}{DE}$=$\frac{1}{3}$，
设PE=x，AE=3x，
∴DE=9x，
∴AD=3$\sqrt{10}$x，AP=$\sqrt{10}$x，
∴AB=AD=3$\sqrt{10}$x，
∵△AEP∽△AGF，
∴$\frac{FG}{AG}=\frac{PE}{AE}$=$\frac{1}{3}$，
设BG=FG=m，AG=3m，
∴AB=2m，
∴BD=2$\sqrt{2}$m，BF=$\sqrt{2}$m，
∴DF=3$\sqrt{2}$m，
∴$\frac{BF}{FD}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．