Question

如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，O为AB上一点，以O为圆心、OB长为半径的圆交BC于D，DE⊥AC交AC于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O与AC相切于F，AB=AC=5cm，sinA=，求⊙O的半径的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据切线的判定定理，只需连接OD，证明OD⊥DE．已知DE⊥AC，故利用同位角相等，两条直线平行就可证明；
（2）根据切线的性质定理，连接过切点的半径，运用锐角三角函数的定义，用半径表示OA的长，再根据AB的长列方程求解．
解答：（1）证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC．
又DE⊥AC，
∴DE⊥OD．
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：⊙O与AC相切于F点，连接OF，
则：OF⊥AC．
在Rt△OAF中，sinA=，
∴OA=OF，
又AB=OA+OB=5，
∴．
∴OF=cm．
点评：此题综合运用了切线的判定和性质，熟练运用锐角三角函数的定义表示出两条边之间的关系．