Question

16．如图，已知，A点坐标是（3，0），B点坐标是（0，1），将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，A、B旋转后的对应点分别为C和D，抛物线y=-x²+bx+c经过C、D两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M在第一象限抛物线上，△ABM的面积等于4，求点M的坐标；
（3）点Q是抛物线上的动点，在对称轴上是否存在点P，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用旋转的性质得OC=OA=3，OD=OB=1，∠AOC=∠BOD=90°，则可得到C（0，3），D（-1，0），再把C点和D点坐标代入y=-x²+bx+c中得到b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）如图1，作ME⊥x轴于E，交AB于N，先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+1，再判断点A（3，0）在抛物线y=-x²+2x+3上，设M（t，-t²+2t+3），则N（t，-$\frac{1}{3}$t+1），则MN=-t²+$\frac{7}{3}$t+2，根据三角形面积公式和S_△ABM=S_△MNB+S_△MNA得到$\frac{1}{2}$•3•（-t²+$\frac{7}{3}$t+2）=4，解得t₁=$\frac{1}{3}$，t₂=2，于是可得到点M的坐标为（$\frac{1}{3}$，$\frac{32}{9}$）或（2，3）；
（3）先确定P点的横坐标为1，再分类讨论：如图2，当四边形ABPQ为平行四边形时，把B点向右平移1个单位得到P点，则A点也向右平移1个单位得到Q点，即Q点的横坐标为4，再根据二次函数图象上点的坐标特征可确定Q点的坐标为（4，-5），所以A点向右平移1个单位，向下平移5个单位得到Q点，根据点平移的规律可判断B点向右平移1个单位，向下平移5个单位得到P点，于是得到P点坐标为（1，-4）；当四边形ABQ′P′为平行四边形时，如图2，同样方法可得P′（1，-6）；当四边形APBQ为平行四边形时，如图3，同样方法可得P（1，-2）．

解答 解：（1）∵A点坐标是（3，0），B点坐标是（0，1），
∴OA=3，OB=1，
∵△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，
∴OC=OA=3，OD=OB=1，∠AOC=∠BOD=90°，
∴C（0，3），D（-1，0），
∵C（0，3），D（-1，0）在抛物线y=-x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-1-b+c=0}\end{array}\right.$，解得b=2，c=3，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；
（2）如图1，作ME⊥x轴于E，交AB于N，
设直线AB的解析式为y=mx+n，
把A（3，0），B（0，1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{3m+1=0}\end{array}\right.$，解得m=-$\frac{1}{3}$，n=1，
所以直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+1，
∵x=3时，y=-x²+2x+3=-9+6+3=0，
∴点A（3，0）在抛物线y=-x²+2x+3上，
设M（t，-t²+2t+3），则N（t，-$\frac{1}{3}$t+1），
∴MN=-t²+2t+3-（-$\frac{1}{3}$t+1）=-t²+$\frac{7}{3}$t+2，
∵S_△ABM=S_△MNB+S_△MNA=$\frac{1}{2}$•3•MN，
∴$\frac{1}{2}$•3•（-t²+$\frac{7}{3}$t+2）=4，
整理得3t²-7t+2=0，解得t₁=$\frac{1}{3}$，t₂=2，
∴点M的坐标为（$\frac{1}{3}$，$\frac{32}{9}$）或（2，3）；
（3）存在．抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，则P点的横坐标为1，
如图2，当四边形ABPQ为平行四边形时，AB∥PQ，AB=PQ，
把B点向右平移1个单位得到P点，则A点也向右平移1个单位得到Q点，即Q点的横坐标为4，
当x=4时，y=-x²+2x+3=-16+8+3=-5，
所以Q点的坐标为（4，-5），
∵A点向右平移1个单位，向下平移5个单位得到Q点，
∴B点向右平移1个单位，向下平移5个单位得到P点，
∴P点坐标为（1，-4）；
当四边形ABQ′P′为平行四边形时，如图2，同样方法可得P′（1，-6）；
当四边形APBQ为平行四边形时，如图3，同样方法可得P（1，-2），
综上所述，满足条件的P点坐标为（1，-2），（1，-4），（1，-6）．

点评 本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、旋转的性质和平行四边形的性质；能利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形的性质，掌握点平移的坐标规律；会运用分类讨论的思想解决数学问题．