Question

已知关于x的一元二次方程x²-4x+k=0有两个不等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数值，且关于x的方程x²-4x+k=0与x²-mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值．

Answer 1

分析：（1）根据关于x的一元二次方程x²-4x+k=0有两个不等的实数根，得出16-4k＞0，即可求出k的取值范围；
（2）先求出k的值，再代入方程x²-4x+k=0，求出x的值，再把x的值代入x²-mx-1=0，即可求出m的值．

解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-4x+k=0有两个不等的实数根，
∴△=b²-4ac=16-4k＞0，
解得：k＜4；
∴k的取值范围是k＜4；

（2）当k＜4时的最大整数值是3，
则关于x的方程x²-4x+k=0是x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
∵关于x的方程x²-4x+k=0与x²-mx-1=0有一个相同的根，
∴当x₁=1时，1²-m-1=0，
解得：m=0，
当x₂=3时，3²-3m-1=0，
解得：m=

8

3

．
答：m的值是0或

8

3

．

点评：此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据方程有两个不等的实数根，求出k的值；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．