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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．
    （1）求点A，B的坐标；
    （2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；
    （3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．
    【答案】分析：（1）由直线y=x+与直线y=x交于点A，列出方程组，通过解该方程组即可求得点A的坐标；根据∠BOA=90°得到直线OB的解析式为y=-x，则，通过解该方程组来求点B的坐标即可；
    （2）把点A、B、O的坐标分别代入已知二次函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组即可求得该抛物线的解析式；
    （3）如图，作DN⊥x轴于点N．欲证明OD与CF平行，只需证明同位角∠CMN与∠DON相等即可．
    解答：解：（1）由直线y=x+与直线y=x交于点A，得
    ，
    解得，，
    ∴点A的坐标是（3，3）．
    ∵∠BOA=90°，
    ∴OB⊥OA，
    ∴直线OB的解析式为y=-x．
    又∵点B在直线y=x+上，
    ∴，
    解得，，
    ∴点B的坐标是（-1，1）．
    综上所述，点A、B的坐标分别为（3，3），（-1，1）．

    （2）由（1）知，点A、B的坐标分别为（3，3），（-1，1）．
    ∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，
    ∴，
    解得，，
    ∴该抛物线的解析式为y=x2-x，或y=（x-）2-．
    ∴顶点E的坐标是（，-）；

    （3）OD与CF平行．理由如下：
    由（2）知，抛物线的对称轴是x=．
    ∵直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，
    ∴C（，）．
    设直线BC的表达式为y=kx+b（k≠0），把B（-1，1），C（，）代入，得
    ，
    解得，，
    ∴直线BC的解析式为y=-x+．
    ∵直线BC与抛物线交于点B、D，
    ∴-x+=x2-x，
    解得，x1=，x2=-1．
    把x1=代入y=-x+，得y1=，
    ∴点D的坐标是（，）．
    如图，作DN⊥x轴于点N．
    则tan∠DON==．
    ∵FE∥x轴，点E的坐标为（，-）．
    ∴点F的纵坐标是-．
    把y=-代入y=x+，得x=-，
    ∴点F的坐标是（-，-），
    ∴EF=+=．
    ∵CE=+=，
    ∴tan∠CFE==，
    ∴∠CFE=∠DON．
    又∵FE∥x轴，
    ∴∠CMN=∠CFE，
    ∴∠CMN=∠DON，
    ∴OD∥CF，即OD与CF平行．
    点评：本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数交点问题，平行线的判定以及锐角三角函数的定义等知识点．此题难度较大．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
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    k
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