【题目】如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差,那么我们就称这个自然数为“麻辣数”.如:所以2,26均为“麻辣数”.注:立方差公式
(1)请判断98和169是否为“麻辣数”,并说明理由;
(2)请求出在不超过2016的自然数中,所有的“麻辣数”之和为多少?写出完整的求解过程.
【答案】(1)98是麻辣数;169不是麻辣数;理由见解析;(2)6860.
【解析】
(1)根据相邻两个奇数的立方差,可得答案;
(2)根据相邻两个奇数的立方差,麻辣数的定义,可得答案.
设k为整数,则2k+1、2k-1为两个连续奇数,
设M为“麻辣数”,
则M=(2k+1)3-(2k-1)3
=[(2k+1)-(2k-1)][(2k+1)2+(2k+1)(2k-1)+(2k-1)2]
=24k2+2;
(1)98是麻辣数,169不是麻辣数,理由如下:
当M=98时,24k2+2=98,
因为k为自然数,所以k=2,
此时2k+1=5,2k-1=3,
即98=53-33,
故98是麻辣数;
当M=169时,即24k2+2=169,
因为24k2+2是偶数,而169是奇数,所以k的值不是整数,
故169不是麻辣数;
(2)令M≤2016,则24k2+2≤2016,
解得k2≤<84,
故k2=0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,
故M的和为24×(0+1+4+9+16+25+36+49+64+81)+2×10=6860.
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【题目】在实数的计算过程中去发现规律.
(1)5>2,而<,规律:若a>b>0,那么与的大小关系是: .
(2)对于很小的数0.1、0.001、0.00001,它们的倒数= ;= ;= .规律:当正实数x无限小(无限接近于0),那么它的倒数 .
(3)填空:若实数x的范围是0<x<2,写出的范围.
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【题目】如图,已知正方形ABCD中,BE平分∠DBC且交CD边于点E,将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置,并延长BE交DF于点G.
(1)求证:△BDG∽△DEG;
(2)若EGBG=4,求BE的长.
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【题目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=9,cosA=,如果将△ABC绕着点C旋转至△A′B′C′的位置,使点B′落在∠ACB的角平分线上,A′B′与AC相交于点D,那么线段CD的长等于______.
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【题目】如图所示,某拦水大坝的横断面为梯形ABCD,AE、DF为梯形的高,其中迎水坡AB的坡角α=45°,坡长AB=米,背水坡CD的坡度i=1:(i为DF与FC的比值),则背水坡CD的坡长为______米.
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【题目】如图,四边形ABCD中,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°.
(1)判断∠D是否是直角,并说明理由.
(2)求四边形ABCD的面积.
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