Question

如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm／s，点G的运动速度为1.5cm／s．当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）．

（1）当t＝　 　  s时，四边形EBFB'为正方形；

（2）若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；

（3）是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）2.5。

（2）由题意得AE=t，BF=3t，CG=1.5t。

∵AB＝10，BC＝12，∴。

∵点F在BC上运动，∴，即。

①当△EBF∽△FCG时，，∴，解得。

②当△EBF∽△GCF时，，∴，化简，得。

解得（不合题意，舍去）。

∵，∴或符合题意。

∴若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，则或。

（3）不存在，理由如下：

如图，连接BD。

∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴点O为BD的中点。

假设存在实数t，使得点B'与点O重合，此时，EF是OB的垂直平分线，垂足为点H。

∵易知，。

易证△EHB∽△BHF∽△BCD，

∴。∴。

∵点F的运动速度是点E的运动速度的3倍，但，

∴不存在实数t，使得点B'与点O重合。

【解析】

试题分析：（1）由题意得AE=t，BF=3t。

∵AB＝10，BC＝12，∴。

由BE=BF得。

（2）分△EBF∽△FCG和△EBF∽△GCF讨论即可。

（3）用反证法证明，假设存在实数t，使得点B'与点O重合，求出此时AE和BF的值，与已知的速度得到的比值比较得出错误的结论。