Question

已知：y关于x的函数y＝(k－1)x²－2kx＋k＋2的图象与x轴有交点．

(1)求k的取值范围；

(2)若x₁，x₂是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k－1)x₁²＋2kx₂＋k＋2＝4x₁x₂．

①求k的值；②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．

Answer 1

解：(1)当k＝1时，函数为一次函数y＝－2x＋3，其图象与x轴有一个交点．

当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，

令y＝0得(k－1)x²－2kx＋k＋2＝0．

△＝(－2k)²－4(k－1)(k＋2)≥0，解得k≤2．即k≤2且k＝1．

综上所述，k的取值范围是k≤2．

(2)①∵x₁≠x₂，由(1)知k＜2且k＝1．

由题意得(k－1)x₁²＋(k＋2)＝2kx₁．(*)

将(*)代入(k－1)x₁²＋2kx₂＋k＋2＝4x₁x₂中得：

2k(x₁＋x₂)＝4x₁x₂．

又∵x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，

∴2k·＝4·．

解得：k₁＝－1，k₂＝2(不合题意，舍去)．

∴所求k值为－1．

②如图5，∵k₁＝－1，y＝－2x²＋2x＋1＝－2(x－)²＋．

且－1≤x≤1．

由图象知：当x＝－1时，y_最小＝－3；当x＝时，y_最大＝

∴y的最大值为，最小值为－3．