Question

7．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB．②DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD-BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系．

Answer 1

分析 （1）①根据AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB=90°，得出∠CAD=∠BCE，再根据AAS即可判定△ADC≌△CEB；②根据全等三角形的对应边相等，即可得出CE=AD，CD=BE，进而得到DE=CE+CD=AD+BE；
（2）先根据AD⊥MN，BE⊥MN，得到∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，进而得出∠CAD=∠BCE，再根据AAS即可判定△ADC≌△CEB，进而得到CE=AD，CD=BE，最后得出DE=CE-CD=AD-BE；
（3）运用（2）中的方法即可得出DE，AD，BE之间的等量关系是：DE=BE-AD．

解答 解：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠ACB=90°=∠CEB，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
∵在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠BCE}\\{∠ADC=∠CEB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；

②∵△ADC≌△CEB，
∴CE=AD，CD=BE，
∴DE=CE+CD=AD+BE；

（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
∵在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠BCE}\\{∠ADC=∠CEB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
∴CE=AD，CD=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；

（3）当MN旋转到题图（3）的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关系是：DE=BE-AD．
理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
∵在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠BCE}\\{∠ADC=∠CEB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CE=AD，CD=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差关系进行推导，得出结论．