分析 (1)根据正方形的性质可得AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,再根据余角的性质,可得∠BAE=∠DAG,然后利用“SAS”证明△ABE≌△ADG,根据全等三角形对应边相等证明即可;
(2))①作BN⊥AE于点N,根据勾股定理得出AN=BN=$\sqrt{2}$,在△BEN中,根据勾股定理即可得出结论;
②作AM⊥BE于点M,根据S△ABE=$\frac{1}{2}$AE•BN=$\frac{1}{2}$BE•AM=3即可得出结论;
(3)分两种情况:①E在BC的右边,连接AC,AF,CF,利用点A,C,E,F四点共圆求解,②E在BC的左边,连接AC,AF,FG,CG,首先确定DG和CG在同一条直线上,再利用点A,C,G,F四点共圆求解.
解答 解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAE+∠EAD=90°,
又∵四边形AEFG是正方形,
∴AE=AG,∠EAD+∠DAG=90°,
∴∠BAE=∠DAG.
在△ABE与△ADG中,
∵$\left\{\begin{array}{l}AE=AG\\∠BAE=∠DAG=α\\ AB=AD\end{array}\right.$,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴BE=DG;
(2)①如图1,作BN⊥AE于点N,
∵∠BAN=45°,AB=2,
∴AN=BN=$\sqrt{2}$.
在△BEN中,
∵BN=$\sqrt{2}$,NE=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$,
∴BE=$\sqrt{31-6\sqrt{6}}$;
②如图1,作AM⊥BE于点M,则S△ABE=$\frac{1}{2}$AE•BN=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$.
又∵S△ABE=$\frac{1}{2}$BE•AM=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{31-6\sqrt{6}}$×AM=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$,
∴AM=$\frac{6\sqrt{44-9\sqrt{6}}}{31-6\sqrt{6}}$,即点A到BE的距离为$\frac{6\sqrt{44-9\sqrt{6}}}{31-6\sqrt{6}}$.
(3)解:①如图2,连接AC,AF,CF,
∵四边形ABCD与AEFG是正方形,
∴∠ACD=∠AFE=45°,
∵∠DCE=90°
∴点A,C,E,F四点共圆,
∵∠AEF是直角,
∴AF是直径,
∴∠ACF=90°,
∵∠ACD=45°,
∴∠FCD=45°
②如图3,连接AC,AF,FG,CG
由(1)知∵△ABE≌△ADG,
∴∠ABE=∠ADG=90°,
∴DG和CG在同一条直线上,
∴∠AGD=∠AGC=∠BAG,
∵四边形ABCD与AEFG是正方形,
∴∠BAC=∠FAG=45°,
∴∠BAG+∠GAC=45°,∠BAG+∠BAF=45°,
∴∠AGD+∠GAC=45°,
∴∠BAG+∠BAF+∠AGD+∠GAC+∠AGF=180°,
∴点A,C,G,F四点共圆,
∵∠AGF是直角,
∴AF是直径,
∴∠ACF=90°,
∴∠FCD=90°+45°=135°
综上所述,∠FCD的度数为45°或135°.
点评 本题主要考查了几何变换综合题.涉及正方形的性质,全等三角形的判定及性质,等积式及四点共圆周的知识,综合性强,解题的关键是运用等积式及四点共圆周判定及性质求解.
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 先向右平移6格,再绕点B顺时针旋转45° | |
B. | 先向右平移6格,再绕点B逆时针旋转45° | |
C. | 先向右平移6格,再绕点B顺时针旋转90° | |
D. | 先向右平移6格,再绕点B逆时针旋转90° |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | ac<0 | B. | a-b=1 | C. | a+b=-1 | D. | b>2a |
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