Question

18．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2OP′．

解答 解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．

在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵∠OCP′=∠ACB，∠OP′C=∠CAB，
∴△COP′∽△CBA，
∴$\frac{CO}{CB}$=$\frac{OP′}{AB}$，
∴$\frac{4}{10}$=$\frac{OP′}{6}$，
∴OP′=$\frac{12}{5}$，
当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2OP′=$\frac{24}{5}$．
故答案为$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查平行四边形的性质．直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．