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18.⊙O的半径为6,弦长为一元二次方程x2-5x-6=0的两根,则弦到圆心的距离及弦所对的圆心角的度数分别是(  )
A.$\sqrt{3}$和30°B.$\sqrt{3}$和60°C.3$\sqrt{3}$和30°D.3$\sqrt{3}$和60°

分析 求出方程x2-5x-6=0的解,确定出弦AB的长,过O作OC⊥AB,连接OA,OB,如图所示,利用垂径定理得到C为AB的中点,由AB的长求出AC的长,在直角三角形AOC中,利用勾股定理求出OC的长,即为圆心O到弦AB的距离;由OA=OB=AB=6,得到三角形AOB为等边三角形,可得出∠AOB=60°,即为AB所对的圆心角的度数.

解答 解:方程x2-5x-6=0因式分解得:(x-6)(x+1)=0,
解得:x=6或x=-1(舍去),
∴AB=6,
过O作OC⊥AB,连接OA,OB,如图所示,
可得C为AB的中点,即AC=BC=3,
在Rt△AOC中,OA=6,AC=3,
根据勾股定理得:OC=$\sqrt{O{A}^{2}-A{C}^{2}}$=3$\sqrt{3}$,
∵OA=OB=AB=6,
∴△OAB为等边三角形,
∴∠AOB=60°,
则圆心O到弦AB的距离以及AB所对的圆心角分别为3$\sqrt{3}$和60°.
故选D.

点评 此题考查了垂径定理,勾股定理,以及一元二次方程-因式分解法,利用了数形结合的思想,熟练掌握定理是解本题的关键.

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