Question

【题目】如图1，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE＝CD．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）如图2，若∠ADC＝60°，AD＝4，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）2．

【解析】

（1）根据平行四边形的性质和菱形的判定证明即可；

（2）由菱形的性质可得AD＝CD＝4，AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO，∠ADO＝30°，可求AO＝2，DO＝ AO＝2 ＝BO，由平行四边形的性质可求AE的长．

证明：（1）∵AE∥BD，BE∥AC，

∴四边形AEBO是平行四边形，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC＝AB．

∵OE＝CD，

∴OE＝AB．

∴平行四边形AEBO是矩形，

∴∠BOA＝90°．

∴AC⊥BD．

∴平行四边形ABCD是菱形；

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝CD＝4，AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO，∠ADO＝30°，

∴AO＝2，DO＝AO＝2＝BO，

∴四边形OBEA是平行四边形，

∴AE＝OB＝2