Question

19．将抛物线c₁：$y=-\sqrt{3}{x^2}+\sqrt{3}$沿x轴翻折，得到抛物线c₂，如图1所示．
（1）请直接写出抛物线c₂的表达式；
（2）现将抛物线c₁向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c₂向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．
①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据翻折的性质可求拋物线c₂的表达式；
（2）①求出拋物线c₁与x轴的两个交点坐标，分当AD=$\frac{1}{3}$AE时，当BD=$\frac{1}{3}$AE时两种情况讨论求解；
②存在．理由：如图2，连接AN，NE，EM，MA．根据矩形的判定即可得出．

解答 解：（1）y=$\sqrt{3}$x²-$\sqrt{3}$．

（2）①如图1，令-$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$=0，得x₁=-1，x₂=1
则拋物线c₁与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（1，0）．
∴A（-1-m，0），B（1-m，0）．
同理可得：D（-1+m，0），E（1+m，0）．
当AD=$\frac{1}{3}$AE时，
（-1+m）-（-1-m）=$\frac{1}{3}$[（1+m）-（-1-m）]，
∴m=$\frac{1}{2}$．
当BD=$\frac{1}{3}$AE时，
（-1+m）-（1-m）=$\frac{1}{3}$[（1+m）-（-1-m）]，
∴m=2．
故当B，D是线段AE的三等分点时，m=$\frac{1}{2}$或2．
②存在．
理由：如图2，连接AN，NE，EM，MA．
依题意可得：M（-m，$\sqrt{3}$），N（m，-$\sqrt{3}$）．
即M，N关于原点O对称，
∴OM=ON．
∵A（-1-m，0），E（1+m，0），
∴A，E关于原点O对称，
∴OA=OE
∴四边形ANEM为平行四边形．
∵AM²=（-m+1+m）²+（$\sqrt{3}$）²=4，
ME²=（1+m+m）²+（$\sqrt{3}$）²=4m²+4m+4，
AE²=（1+m+1+m）²=4m²+8m+4，
若AM²+ME²=AE²，则4+4m²+4m+4=4m²+8m+4，
∴m=1，
此时△AME是直角三角形，且∠AME=90°．
∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形．

点评 本题是二次函数的综合题型，考查了翻折的性质，平行四边形和矩形的判定，注意分析题意分情况讨论结果．