Question

如图1，把边长分别是为4和2的两个正方形纸片OABC和OD′E′F′叠放在一起．
（1）操作1：固定正方形OABC，将正方形OD′E′F′绕点O按顺时针方向旋转45°得到正方形ODEF，如图2，连接AD、CF，线段AD与CF之间有怎样的数量关系？试证明你的结论；
（2）操作2，如图2，将正方形ODEF沿着射线DB以每秒1个单位的速度平移，平移后的正方形ODEF设为正方形PQMN，如图3，设正方形PQMN移动的时间为x秒，正方形PQMN与正方形OABC的重叠部分面积为y，直接写出y与x之间的函数解析式；
（3）操作3：固定正方形OABC，将正方形OD′E′F′绕点O按顺时针方向旋转90°得到正方形OHKL，如图4，求△ACK的面积．

Answer 1

（1）相等  见解析    （2）见解析     （3）8

解：（1）相等
由旋转的性质得∠AOB=∠COF，
在△AOD和△COF中，

∴△AOD≌△COF（SAS），
∴AD=CF；
（2）①当0≤x≤4﹣4时，y=2²﹣（2﹣x）²=﹣x²+2x+2；
②当4﹣4≤x≤2时，y=2²﹣（2﹣x）²﹣（4+x﹣4）²；
③2≤x≤4﹣2时，y=2²﹣（4+x﹣4）²；
④4﹣2≤x≤4时，y=（4﹣x）²
⑤x≥4时，y=0．
（3）连接OK，

∵∠COK=∠ACO=45°，
∴OK∥AC，
∴S_△ACK=S_△AOC=8．
（1）根据旋转的性质得到∠AOB=∠COF，然后证得△AOD≌△COF后即可证得AD=CF；
（2）分当0≤x≤4﹣4时、当4﹣4≤x≤2时，2≤x≤4﹣2时、4﹣2≤x≤4时、x≥4时五种情况列出两个变量之间的函数关系式即可；
（3）连接OK，利用内错角相等得到OK∥AC，然后得到S_△ACK=S_△AOC=8．