Question

8．自定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．
（1）如图1，已知△ABC，AC≠BC，过点C能否画出△ABC的一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法，若不能，请说明理由．
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC于点E，已知AB=3，BC=8，CD=5．求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；
（3）如图3，在△ABC中，AB=BC=6，AC=8，请你作出△ABC的一条“等分积周线”EF（要求：直线EF不过△ABC的顶点，交边AC于点F，交边BC于点E），并说明理由．

Answer 1

分析 （1）若直线CD平分△ABC的面积，那么S_△ADC=S_△DBC，得出AC≠BC，进而得出答案；
（2）根据勾股定理可得出：AB²+BE²=CE²+DC²，进而得出BE=5，CE=3，进而得出周长与面积分别相等得出答案即可；
（3）在AC上取一点F，使得FC=AB=6，在BC上取一点E，使得BE=2，作直线EF，则EF是△ABC的等分积周线，结合全等三角形的判定与性质得出答案．

解答 解：（1）不能，
理由：如答图1，若直线CD平分△ABC的面积，那么S_△ADC=S_△DBC，
∴AD=BD，
∵AC≠BC，
∴AD+AC≠BD+BC，
∴过点C不能画出一条“等分积周线”

（2）如答图2，连接AE、DE，设BE=x，
∵EF垂直平分AD，∴AE=DE，AF=DF，S_△AEF=S_△DEF，
∵∠B=∠C=90°，AB=3，BC=8，CD=5，
∴Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理可得出：
AB²+BE²=CE²+DC²，即3²+x²=（8-x）²+5²，
解得：x=5，所以BE=5，CE=3，
∴AB+BE=CE+DC，
S_△ABE=S_△DCE，
∴S_{四边形ABEF}=S_△ABE+S_△AEF，
S_{四边形DCEF}=S_△DEF+S_△DCE，
∴S_{四边形ABEF}=S_{四边形DCEF}，
AF+AB+BE=DF+EC+DC，
∴直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；

（3）如答图3，在AC上取一点F，使得FC=AB=6，在BC上取一点E，使得BE=2，
作直线EF，则EF是△ABC的等分积周线，
理由：由作图可得：AF=AC-FC=8-6=2，在CB上取一点G，使得CG=AF=2，则有AB+AF=CF+CG，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
在△ABF和△CFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=CG}\\{∠A=∠C}\\{AB=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CFG（SAS），
∴S_△ABF=S_△CFG，
又易得BE=EG=2，
∴S_△BFE=S_△EFG，
∴S_△EFC=S_{四边形ABEF}，
AF+AB+BE=CE+CF=10，
∴EF是△ABC的等分积周线，
若如答图4，当BM=2cm，AN=6cm时，直线MN也是△ABC的等分积周线．（其实是同一条），
另外本问的说理也可以通过作高，进行相关计算说明）．

点评 此题主要考查了三角形综合题，需要掌握应用与设计作图和全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，根据题意正确分割图形是解题关键．