Question

如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连结CE、BF．
（1）请你添加一个条件______，使得△BDF≌△CDE（不添加辅助线），并证明：△BDF≌△CDE；
（2）满足（1）的条件下，若△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点E为AD的中点，连结BE，CF，已知BC=4，则四边形BECF是什么图形？其周长是多少？

Answer 1

解：（1）添加的条件是DE=DF，
∵点D是BC的中点，
∴DB=DC，
又∵∠BDF=∠CDE，
在△BDF和△CDE中，

∴△BDF≌△CDE（SAS）；

（2）连接BE，CF，
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点
∴AD⊥BC，AD=BC=2，
∴BE=CE，BF=CF，
由（1）得BF=CE，
∴BE=CE=BF=CF，
即四边形BECF是菱形，
E为AD的中点，DE=1，在直角三角形BDE中，BE=，
∴菱形BECF的周长是．
分析：（1）两个三角形全等已具备的条件是：BD=CD，∠BDF=∠CDE，根据三角形全等的判定方法即可确定添加的条件；
（2）根据EF、BC互相平分即可得到四边形BECF是平行四边形，然后根据三线合一定理证明对角线互相垂直即可证得四边形BECF是菱形．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及菱形的判定，等腰三角形的性质，是一个综合性较强的题目．