Question

14．如图，△ABC的顶点坐标为A（0，4）、B（-3，0）、C（2，0），将△ABC沿AC翻折后，点B的对称点恰好落在函数y=$\frac{k}{x}$的图象上的D点处．
（1）求k的值．
（2）已知点P为该函数图象上一点，点Q为坐标轴上一点，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据A、B、C三点的坐标求出AB=BC=5，由翻折得AD=CD=5，则四边形ABCD为菱形，写出点D的坐标，并计算k的值；
（2）设点P（x，y），则xy=20，分点Q在x与y轴两种情况考虑：利用P、Q所构成的直角三角形与直角△AOB
全等列方程组分别求出点Q的坐标．

解答 解：（1）如图1，∵A（0，4）、B（-3，0）、C（2，0），
∴AB=BC=5，OA=4，
∵将△ABC沿AC翻折后得到△ACD，
∴AD=CD=5，
∴四边形ABCD为菱形，
∴点D的坐标为（5，4），
∵点D在函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=5×4=20；
（2）设点P（x，y），则xy=20，
分点Q在x与y轴两种情况考虑：
①点Q在x轴上，如图2，设点Q的坐标为（m，0），
当线段AB为边组成?ABPQ时，AB=PQ=5，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-4}\\{-x+m=3}\end{array}\right.$    解得m=-2，
∴Q（-2，0）；
②点Q在y轴的正半轴上时，如图3，设点Q的坐标为（0，b），
当线段AB为边组成?ABQP时，AB=PQ=5，
则$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{\frac{20}{x}-b=4}\end{array}\right.$    解得b=$\frac{8}{3}$，
∴Q（0，$\frac{8}{3}$）；
③点Q在y轴的负半轴上时，如图4，设点Q的坐标为（0，b），
同理得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{-\frac{20}{x}=4-b}\end{array}\right.$    解得b=-$\frac{8}{3}$，
∴Q（0，-$\frac{8}{3}$）；
④点Q在y轴的正半轴上时，如图5，设点Q的坐标为（0，b），
同理得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{-\frac{20}{x}=b-4}\end{array}\right.$    解得b=$\frac{32}{3}$，
∴Q（0，$\frac{32}{3}$）；
⑤点Q在x轴的正半轴上，且与C重合，P与D重合时，如图6，
此时点Q的坐标为（2，0），设点P（x，y），则y=4，
∴x=5，
∴AD=AB=BC=DC，
此时四边形ABPQ是菱形，符合条件，
∴Q（2，0）；
⑥点Q在x轴的负半轴上，P与D重合时，如图7，
当线段AB为对角线组成?AQBP时，AD=BQ=5，
∴Q（-8，0）；
综上所述：点Q的坐标为（-2，0）或（0，$\frac{8}{3}$）或（0，-$\frac{8}{3}$）或（2，0）或（0，$\frac{32}{3}$）或（-8，0）．

点评 本题是反比例函数、平行四边形及翻折变换的综合题，综合性较强；考查了平行四边形的性质和反比例函数图象上点的坐标的特点；若两动点与两定点构成特殊的四边形时，要分情况进行讨论，容易丢解，因此要认真分析，准确解答．