Question

如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将△MCN翻折，使点C落在边AB上，设其落点为P．
（1）当点P是边AB的中点时，比例式

PA

PB

=

CM

CN

成立吗？为什么？
（2）当点P不是边AB的中点时，

PA

PB

=

CM

CN

是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先连接PC，易证得△CMN∽△CAB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得

CM

CN

=

AC

BC

=1，继而可得比例式

PA

PB

=

CM

CN

成立；
（2）首先连接PC，则MN⊥PC，过点P作PE⊥AC于点E，易证得△AEP∽△ACB，△MCN∽△PEC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得

PA

PB

=

CM

CN

成立．

解答：解：（1）点P是边AB的中点时，比例式

PA

PB

=

CM

CN

成立．
理由：如图（1），连接PC，
∵MN是折痕，
∴MN垂直平分PC，
∵AC=BC，AP=BP，
∴CP⊥AB，

PA

PB

=1，
∴MN∥AB，
∴△CMN∽△CAB，
∴

CM

CN

=

AC

BC

=1，
∴

PA

PB

=

CM

CN

；

（2）当点P不是边AB的中点时，

PA

PB

=

CM

CN

仍然成立．
理由：如图（2），连接PC，则MN⊥PC，
过点P作PE⊥AC于点E，
∵∠ACB=90°，∠A是公共角，
∴△AEP∽△ACB，
∴

PA

PB

=

AE

EC

，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，∠APE=∠B=45°，
∴AE=EP，
∵∠MCN=90°，CP⊥MN，
∴∠ECP=∠MNC，
∴△MCN∽△PEC，
∴

CM

PE

=

CN

EC

，
∴

CM

CN

=

PE

EC

=

AE

EC

，
∴

PA

PB

=

CM

CN

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．