Question

（2013•湖州模拟）在平面直角坐标系xOy中，如图1，将若干个边长为 

2

的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA、OC分别落在y轴的正半轴和x轴的负半轴上，将这些正方形顺时针绕点O旋转135°得到相应矩形OA′B′C′，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）过点O、B′、C′．
（1）如图2，当正方形个数为1时，填空：点B′坐标为

（2，0）

，点C′坐标为

（1，1）

，二次函数的关系式为

y=-x²+2x

，此时抛物线的对称轴方程为

直线x=1

；
（2）如图3，当正方形个数为2时，求y=ax²+bx+c（a≠0）图象的对称轴；
（3）当正方形个数为2011时，求y=ax²+bx+c（a≠0）图象的对称轴；
（4）当正方形个数为n个时，请直接写出：用含n的代数式来表示y=ax²+bx+c（a≠0）图象的对称轴．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质求出对角线的长，然后根据旋转角是135°可知点C′在x轴上，从而求出点B′、C′的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式，根据对称轴公式求解；
（2）先求出点B′、C′的坐标，再利用待定系数法求出a、b的关系，然后利用对称轴解析式解答；
（3）求出点B′、C′的坐标，再利用待定系数法求出a、b的关系，然后利用对称轴解析式解答；
（4）根据（2）与（3）的规律，求出点B′、C′的坐标，再利用待定系数法求出a、b的关系，然后利用对称轴解析式解答即可．

解答：解：（1）∵正方形的边长为

2

，
∴对角线为

2

×

2

=2，
∵旋转角为135°，
∴点B′在x轴上，
∴点B′（2，0），
根据正方形的性质，点C′（1，1），
∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过点O、B′、C′，
∴

4a+2b+c=0 a+b+c=1 c=0

，
解得

a=-1 b=2

，
∴二次函数关系式为y=-x²+2x，
对称轴为直线x=-

2

2×(-1)

=1，
即直线x=1；
故答案为：（2，0）；（1，1）；y=-x²+2x；直线x=1．

（2）正方形个数为2时，B′（3，1），C′（2，2），
∴

9a+3b+c=1 4a+2b+c=2 c=0

，
整理得，7a=-2b，
∴

b

a

=-

7

2

，
抛物线对称轴为直线x=-

b

2a

=-

1

2

×（-

7

2

）=

7

4

；

（3）正方形个数为2011时，B′（2012，2010），C′（2011，2011），
∴

20122a+2012b+c=2010 20112a+2011b+c=2011 c=0

，
整理得，6034a=-2b，
∴

b

a

=-3017，
对称轴为直线x=-

b

2a

=-

1

2

×（-3017）=

3017

2

；

（4）正方形个数为n个时，B′（n+1，n-1），C′（n，n），
∴

(n+1)2a+(n+1)b+c=n-1 n2a+nb+c=n c=0

，
整理得，（3n+1）a=-2b，
∴

b

a

=-

3n+1

2

，
对称轴为直线x=-

b

2a

=-

1

2

×（-

3n+1

2

）=

3n+1

4

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，待定系数法的思想以及待定系数法求二次函数解析式，根据规律确定出点B′、C′的坐标是解题的关键，也是本题的难点．