Question

如图，△ABC的内切圆分别切BC，CA、AB三边于D、E、F，M是EF上一点，且DM⊥EF，求证：DM平分∠BMC．

Answer 1

证明：连接DF、DE，设N、K分别是DF、DE的中点，连接BN、CK，OF，OD．则：
∵△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB三边于D、E、F，
∴BF=BD，CD=CE，
∴BN⊥DF，CK⊥DE，∠FBN=∠FBD，
∵∠DOF=2∠E，∠DOF+∠FBD=180°，∠MDE+∠E=90°，
∴∠FBN=∠EDM，
∵DM⊥EM，
∴∠BNF=∠DME=90°，
∴Rt△BFN∽Rt△DEM，
∴==，
同理：Rt△CEK∽Rt△DFM，==，
∴BF•ME=DF•DE=CE•FM，
∴=，而∠BFM=∠CEM，
∴△BFM∽△CEM，
∴∠BMF=∠CME．
∵DM⊥EF，∴∠BMD=∠CMD．
即DM平分∠BMC．
分析：连接DF、DE，设N、K分别是DF、DE的中点，连接BN、CK．则Rt△BFN∽Rt△DEM，Rt△CEK∽Rt△DFM，从而证得=，于是△BFM∽△CEM，所以∠BMD=∠CMD．即DM平分∠BMC．
点评：本题考查了三角形的内切圆和相似三角形的判定和性质，熟练应用相似三角形的性质是解题关键．