Question

如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC‖弦AD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若过点D作DE⊥AB于E交AC于P，试求

PD

ED

的值．

Answer 1

分析：（1）要证DC是⊙O的切线只要证得∠ODC=90°即可；
（2）证得△OBC∽△AED根据相似比不难求得PD：ED的值．

解答：（1）证明：连接OD，BD；
∵OC∥弦AD，
∴∠BOC=∠A，∠ADO=DOC．
∵OA=OD，
∴∠A=∠COD．
∴∠COD=∠BOC．
∵OC=OC，OB=OD，
∴△OCD≌△OCB．
∴∠B=∠ODC=90°．
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC=90°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°．
∴∠OBC=∠AED．
∵OC∥弦AD，
∴∠BOC=∠EAD．
∴△OBC∽△AED．
∴BC：DE=OB：AE．
∵PE∥BC，
∴△ABC∽△AEP．
∴BC：EP=AB：AE．
∵AB=2OB，
∴DE=2PE．
∴PD=PE．
∴PD：ED=1：2．

点评：（1）本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．（2）求两条线段的比值时，如果根据已知条件不能求出它们的具体长度，一般应用相似三角形的性质，巧妙应用题目中已知线段的倍分关系，将所求比转化．