Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
（1）求此抛物线的解析式；
（2）①当x的取值范围满足条件______时，y＜-3；
　　 ②若D（m，y₁），E（2，y₂）是抛物线上两点，且y₁＞y₂，求实数m的取值范围；
（3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
（4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）设函数解析式为y=a（x+1）²-4，
将点B（1，0）代入解析式得，
a（1+1）²-4=0，
解得a=1，
故函数解析式为y=（x+1）²-4，
化为一般式得y=x²+2x-3．
（2）①函数与y轴的交点为（0，-3），
如图1，过点C作直线平行于x轴，与抛物线相交于另一点E，
令y=-3可得方程x²+2x-3=-3，
解得x₁=0，x₂=-2．
则D点坐标为（-2，0）．
由图可知y＜-3时，-2＜x＜0；
故答案为-2＜x＜0．
②如图1，当x=2时，y₂=4+4-3=5；故E点坐标为（2，5），
令y=5，得x²+2x-3=5，解得x₁=2，x₂=-4．F点坐标为（-4，0）．
由图可知，y₁＞y₂时，m＜-4或m＞2．
（3）如图2，令y=0可得方程x²+2x-3=0，
有（x-1）（x+3）=0，
解得x₁=1，x₂=-3．
则A点坐标为（-3，0）．
设一次函数AC解析式为y=kx+b，
将A（-3，0），C（0，-3）代入解析式得，，
解得，
故函数解析式为y=-x-3．
当x=t时，MN=（-t-3）-（t²+2t-3）=-t²-3t=-（t+）²+（-3≤t≤0），
当t=-时，MN取得最大值．
（4）根据题意得①x=x²+2x-3，解得x₁=，x₂=，
将x₁=，x₂=，分别代入解析式得y₁=，y₂=，
故P点坐标为（，），（，）．
②-x=x²+2x-3，解得x₁=，x₂=，分别代入解析式得，y₁=；y₂=．故P点坐标为（，），（，）．
分析：（1）根据已知函数的顶点，设出函数的顶点式，再将点B代入解析式求出a的值即可；
（2）①过点C作直线平行于x轴，与抛物线相交于另一点E，令y=0可得方程x²+2x-3=-3，据此求出D点坐标，从而得到x的取值范围；
②令y=5，求出F点和E点的横坐标，据此即可直接求出x的取值范围．
（3）容易求出A点坐标，再根据A点坐标求出AC的解析式，MN的长度可用两解析式的差来表示，该差为二次函数，根据二次函数最值的求法即可解答；
（4）根据题意可知，该圆同时与x轴、y轴相切时，圆心横纵坐标相同或互为相反数，据此列出方程解答．
点评：本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、存在性问题、二次函数求最值等知识，难度较大．