Question

【题目】已知△ABC中，点D为BC的中点，BD=AB，AD⊥BC．

（1）如图1，求∠BAD的度数；

（2）如图2，点E为BC上一点，点F为AC上一点，连接AE、BF交于点G，若∠AGF=60°，求证：BE=CF；

（3）如图3，在（2）的条件下，点G为BF的中点，点H为AG上一点，延长BH交AC于点K，AK=HK，BM⊥AE交AE延长线于点M，BG=9，HM=10，求线段AG的长．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）证明见解析；（3）14.5

【解析】

（1）先判断出AB=AC，可得△ABC是等边三角形，根据等边三角形三线合一的性质可得结论；

（2）利用等式的性质判断出∠BAE=∠BCF，进而得出△ABE≌△BCF，即可得出结论；

（3）如图3，作辅助线，构建矩形NMDF，先根据三角形的中位线可得DM=FN=，由△ANF≌△HMB，得AN=HM=10，计算NG的长，相加可得结论．

（1）∵点D为BC的中点，AD⊥BC，

∴AB=AC，BD=CD=BC，

∵BD=AB，

∴AB=BC=AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，

∵AD⊥BC，

∴∠BAD=∠BAC=30°；

（2）由（1）知，△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，

∴∠ABF+∠CBF=60°，

∵∠AGF=60°，

∴∠BAE+∠ABF=60°，

∴∠BAE=∠CBF，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（ASA），

∴BE=CF，

（3）如图，过F作FN⊥AE于N，过F作FD⊥BM，交BM的延长线于D，

∵AM⊥BM，

∴GM∥DF，

∵BG=GF，

∴BM=DM，

∵∠AGF=60°，

∴∠BGM=60°，

∵BM⊥AE，

∴∠BMG=90°，

∴∠GBM=30°，

在Rt△BMG中，MG=BG=，BM=DM=FN=，

∵AK=HK，

∴∠HAK=∠AHK=∠BHM，

∵∠ANF=∠HMB=90°，

∴△ANF≌△HMB，

∴AN=HM=10，

Rt△FGN中，∠NFG=∠GBM=30°，

∴GN=GF=，

∴AG=AN+NG=10+=14.5．

即：AG的长为14.5．