Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．

（1）求证：∠B＝∠D；

（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）.

【解析】

（1）由AB为⊙O的直径，证得AC⊥BC，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D；
（2）首先设BC=x，则AC=x-2，由在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程：（x-2）2+x2=42，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长．

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴AC⊥BC，

又∵DC＝CB，

∴AD＝AB，

∴∠B＝∠D；

（2）解：设BC＝x，则AC＝x﹣2，

在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，

∴（x﹣2）2+x2＝42，

解得：x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），

∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，

∴∠D＝∠E，

∴CD＝CE，

∵CD＝CB，

∴CE＝CB＝1+．