如图1.在△ABC中.∠A=90°.AB=4.AC=3．M是边AB上的动点.MN∥BC交AC于点N.△AMN关于MN的对称图形是△PMN．设AM=x．(1)用含x的式子表示△AMN的面积,(2)当x为何值时.点P恰好落在边BC上,(3)在动点M的运动过程中.记△PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y.试求y关于x的函数关系式,并求x为何值时.重叠部分的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3．M是边AB上的动点（M不与A，B重合），MN∥BC交AC于点N，△AMN关于MN的对称图形是△PMN．设AM=x．
（1）用含x的式子表示△AMN的面积（不必写出过程）；
（2）当x为何值时，点P恰好落在边BC上；
（3）在动点M的运动过程中，记△PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式；并求x为何值时，重叠部分的面积最大，最大面积是多少？

分析：（1）因为MN∥BC，所以△AMN∽△ABC，所以根据相似三角形的性质即可求得MN的值与MN边上的高的值，即可求得面积；
（2）根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=

AB=2时，点P恰好落在边BC上；
（3）分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，易见y=

x²．（8分）
②当2＜x＜4时，如图3，设PM，PN分别交BC于E，F
由（2）知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4
由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．

解答：解：（1）S_△AMN=

x²（3）；

（2）如图2，由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，（4分）
又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，（5）
∴∠B=∠BPM∴AM=PM=BM（6分）
∴点M是AB中点，即当x=

AB=2时，点P恰好落在边BC上．（7分）

（3）（i）以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤2时，易见y=

x²（8分）
②当2＜x＜4时，如图3，设PM，PN分别交BC于E，F
由（2）知ME=MB=4-x，
∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4
由题意知△PEF∽△ABC，
∴(

)2=

S△PEF

S△ABC

，
∴S△PEF=

(x-2)2
∴y=S△PMN-S△PEF=

x2-

(x-2)2=-

x2+6x-6
∴y=

x2(0＜x≤ 2)

x2+6x-6(2＜x＜4)

（ii）∵当0＜x≤2时，y=

x²
∴易知y_最大=

×22=

（11分）
又∵当2＜x＜4时，y=-

x²+6x-6=-

（x-

）²+2．
∴当x=

时（符合2＜x＜4），y_最大=2，（12分）
综上所述，当x=

时，重叠部分的面积最大，其值为2．（13分）

点评：此题考查了折叠问题，要注意对应的线段对应的角相等，此题还考查了相似三角形的性质，解题的关键是数形结合思想的应用．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

已知：如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．
（1）求证：AD是圆O的切线；
（2）当∠BAC=90°时，求证：

；
（3）如图2，当PC是圆O的切线，E为AD中点，BC=8，求AD的长．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：
（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；
（2）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；
（3）如图2，若点D在△ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说

明理由．