Question

如图，四边形ABCD为矩形，△ACE为AC为底的等腰直角三角形，连接BE交AD、AC分别于F、N，CM平分∠ACB交BN于M，下列结论：（1）BE⊥ED；（2）AB=AF；（3）EM=EA；（4）AM平分∠BAC
其中正确的结论有

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

D
分析：连接DE，由∠ABC=∠AEC=∠ADC=90°，根据圆周角定理的推论得到点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上，再利用矩形的性质可得AE=ME，即①正确；再根据圆周角定理得到∠AEB=∠ACB，∠DAC=∠CED，∠EAD=∠ECD，易证△AEF≌△CED，即可得到AB=AF，即②正确；由②得到∠ABF=∠AFB=45°，求出∠EMC=∠MCB+45°，
而∠ECM=∠NCM+45°，即③正确；根据等腰三角形性质求出∠EAM=∠AME，推出∠EAM=45°+∠MAN，∠AME=45°+∠BAM，即可判断（4）．
解答：连接DE．
∵四边形ABCD为矩形，△ACE为AC为底的等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠AEC=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，
∴点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上，
∵AB=CD，
∴弧AB=弧CD，
∴∠AEB=∠CED，
∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠BEC+∠AEB=90°，
∴BE⊥ED，故（1）正确；
∵点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上，
∴∠AEF=∠CED，∠EAF=∠ECD，
又∵△ACE为等腰直角三角形，
∴AE=CE，
在△AEF和∉CED中，
，
∴△AEF≌△CED，
∴AF=CD，
而CD=AB，
∴AB=AF，即（2）正确；
∴∠ABF=∠AFB=45°，
∴∠EMC=∠MCB+45°，
而∠ECM=∠NCM+45°，
∵CM平分∠ACB交BN于M，
∴∠EMC=∠ECM，
∴EC=EM，
∴EM=EA，即（3）正确；
∵AB=AF，∠BAD=90°，EM=EA，
∴∠ABF=∠CBF=45°，∠EAM=∠AME，
∵△AEC是等腰直角三角形，
∴∠EAC=45°，
∴∠EAM=45°+∠MAN，∠AME=∠ABM+∠BAM=45°+∠BAM，
∴∠BAM=∠NAM，∴（4）正确；
故选D．
点评：本题考查了圆周角定理以及推论：同弧所对的圆周角相等，90度的圆周角所对的弦为直径；也考查了等腰三角形和矩形的性质、勾股定理以及三角形相似的判定与性质，通过做此题培养了学生的推理能力，此题综合性比较强，有一定的难度．