Question

已知二次函数y=（m²-2）x²-4mx+n的图象关于直线x=2对称，且它的最高点在直线y=x+1上．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若此抛物线的开口方向不变，顶点在直线y=x+1上移动到点M时，图象与x轴交于A、B两点，且S_△ABM=8，求此时的二次函数的解析式．

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=（m²-2）x²-4mx+n的图象关于直线x=2对称，
∴x=-=-=2，
整理可得：
（m+1）（m-2）=0，
m=-1或m=2，
若m=-1则y=-x²+4x+n
若m=2则y=2x²-8x+n
因为它的最高点在直线y=x+1上，
所以抛物线图象向下，a＜0，则m=-1，
把x=2代入y=x+1，故y=2，
把m=-1，（2，2）代入得n=-2，
则y=-x²+4x-2；

（2）因为顶点在直线y=x+1上移动到点M，设M（h，h+1），
因为抛物线的开口方向不变，a=-1，
设y=-（x-h）²+h+1，
=-x²+2hx-h²+h+1，
AB===，
由S_△ABM=8，
所以：××（h+1）=8，
设=t，
×t×[（2h+4）]=8，
×t×t²=8，
则t³=64，
故t=4，即h=6，代入y=-x²+2hx-h²+h+1得，
故此时解析式为：y=-x²+12x-32．
分析：（1）根据图象关于直线x=2对称得出x=-=-=2，求出m的值，再利用它的最高点在直线y=x+1上，得出图象开口向下以及y的值，进而得出顶点坐标，得出解析式即可；
（2）首先假设顶点在直线y=x+1上移动到点M，设M（h，h+1），利用抛物线的开口方向不变，a=-1，得出二次函数的顶点式，再整理为一般形式，利用抛物线与x轴交点距离公式AB=求出h的值，进而得出二次函数的解析式即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及二次函数的性质，根据抛物线的平移不改变a的值以及抛物线与x轴交点距离公式AB=求出是解题关键．