Question

巳知二次函数y=a（x²-6x+8）（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．
（1）如图①．连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点0'恰好落在该抛物线的 对称轴上，求实数a的值；
（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的 右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段不能构成平行四边形）．“若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；
（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴，再根据∠OAC=60°得出OC，从而求出a．
（2）本题需先分两种情况进行讨论，当P是EF上任意一点时，可得PC＞PB，从而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．
（3）本题需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出关于t与a的方程，从而得出a的值，即可求出答案．

解答：解：（1）令y=0，由a（x²-6x+8）=0，
解得x₁=2，x₂=4；
令x=0，解得y=8a，
∴点 A、B、C的坐标分别是（2，0）、（4，0）、（0，8a），
该抛物线对称轴为直线x=3，
∴OA=2，
如图①，设抛物线对称轴与x轴的交点为M，则AM=1，
由题意得：O′A=OA=2，
∴O′A=2AM，
∴∠O′AM=60°，
∴∠OAC=∠O′AC=60°，
∴OC=2

3

，即8a=2

3

，
∴a=

3

4

；

（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立，
①如图②，设P是边EF上的任意一点，连接PM，
∵点E（4，4）、F（4，3）与点B（4，0）在一直线上，点C在y轴上，
∴PB＜4，PC≥4，
∴PC＞PB，
又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，
∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形，
②设P是边FG上的任意一点（不与点G重合），
∵点F的坐标是（4，3），点G的坐标是（5，3），
∴FB=3，GB=

10

，
∴3≤PB＜

10

，
∵PC≥4，
∴PC＞PB，
又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，
∴此时线段PA、PB、PC、PD也不能构成平行四边形；

（3）存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，
如图③，∵点A、B是抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，
∴PA=PB，
∴当PC=PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，
∵点C的坐标是（0，8a），点D的坐标是（3，-a），
点P的坐标是（3，t），
∴PC²=3²+（t-8a）²，PD²=（t+a）²，
由PC=PD得PC²=PD²，
∴3²+（t-8a）²=（t+a）²，
整理得：7a²-2ta+1=0有两个不相等的实数根，
∴a=

2t± 4t2-28

14

=

t± t2-7

7

，
∴a=

t+ t2-7

7

或a=

t- t2-7

7

，
∵t＞3，
∴显然a=

t+ t2-7

7

或a=

t- t2-7

7

，满足题意，
∴当t是一个大于3的常数时，存在两个正数a=

t+ t2-7

7

或a=

t- t2-7

7

，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形．

点评：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键．