Question

已知平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别是（0，2）、（0，-2），（4，-2）．
（1）请在给出的直角坐标系xOy中画出△ABC，设AC交X轴于点D，连接BD，证明：OD平分∠ADB；
（2）请在x轴上找出点E，使四边形AOCE为平行四边形，写出E点坐标，并证明四边形AOCE是平行四边形；
（3）设经过点B，且以CE所在直线为对称轴的抛物线的顶点为F，求直线FA的解析式．

Answer 1

（1）画图如右∵OA=2=OB，OD⊥AB，
即OD垂直平分AB，
∴DA=DB．
从而OD平分∠ADB．（3分）

（2）过点C作CE⊥x轴，E为垂足，则E（4，0），
使四边形AOCE为平行四边形．
理由如下：∵AO=2=CE，
又AO⊥x轴，CE⊥x轴?AO∥CE，
∴四边形AOCE是平行四边形．（7分）

（3）设过A（0，2），C（4，-2）的解析式为y=k₁x+b₁，
则

b1=2 4k1+b1=-2

，?

k1=-1 b1=2

∴直线AC的解析式为y=-x+2．
令y=0，得x=2．
故D的坐标为（2，0）．（9分）
由于抛物线关于CE对称，
故D关于CE的对称点D′（6，0）也在抛物线上，
所以抛物线过B（0，-2），D（2，0），D′（6，0）．
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
则有

c=-2 4a+2b+c=0 36a+6b+c=0

?

a=- 1 6 b= 4 3 c=-2

，
∴抛物线解析式为y=-

1

6

x2+

4

3

x-2=-

1

6

(x-4)2+

2

3

．
其顶点为F(4，

2

3

)．（12分）
设经过F(4，

2

3

)，A（0，2）的解析式为y=k₂x+b₂，
则

4k2+b2= 2 3 b2=2

?

k2=- 1 3 b2=2

，
∴直线FA的解析式为y=-

1

3

x+2．（14分）