【题目】如图,在△AOB中,OA=OB,∠AOB=50°,将△AOB绕O点顺时针旋转30°,得到△COD,OC交AB于点F,CD分别交AB、OB于点E、H.求证:EF=EH.
【答案】证明:∵OA=OB,∠AOB=50°, ∴∠A=∠B.
∵将△AOB绕O点顺时针旋转30°,得到△COD,
∴∠AOC=∠BOD=30°,OD=OB=OA,∠D=∠B.
在△AOF和△DOH中,
,
∴△AOF≌△DOH(ASA),
∴OF=OH,
∵OC=OB,
∴FC=BH.
在△FCE和△HBE中,
,
∴△FCE≌△HBE(AAS),
∴EF=EH.
【解析】根据等腰三角形的性质,可得∠A与∠B,根据旋转的性质,可得∠AOC=∠BOD=30°,OD=OB=OA,∠D=∠B,根据全等三角形的判定与性质,可得答案.
【考点精析】利用旋转的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知①旋转后对应的线段长短不变,旋转角度大小不变;②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变;③旋转后物体或图形不变,只是位置变了.
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【题目】(1)探究:如图1,直线AB、BC、AC两两相交,交点分别为点A、B、C,点D在线段AB上,过点D作DE∥BC交AC于点E,过点E作EF∥AB交BC于点F.若∠ABC=40°,求∠DEF的度数.
(2)应用:如图2,直线AB、BC、AC两两相交,交点分别为点A、B、C,点D在线段AB的延长线上,过点D作DE∥BC交AC于点E,过点E作EF∥AB交BC于点F.若∠ABC=60°,求∠DEF的度数.
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【题目】甲、乙两人在300米环形跑道上练习长跑,甲的速度是6米/秒,乙的速度是7米/秒.
(1)如果甲、乙两人同地背向跑,乙先跑2秒,再经过多少秒两人相遇?
(2)如果甲、乙两人同地同向跑,乙跑几圈后能首次追上甲?
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=56°,∠ABC=74°,BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB,则∠BPC=( )
A.102°
B.112°
C.115°
D.118°
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【题目】某研究性学习小组进行了探究活动.如图,已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处,竹梯AB=13m,梯子底端离墙角的距离BO=5m.
(1)求这个梯子顶端A距地面有多高;
(2)如果梯子的顶端A下滑4 m到点C,那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离BD=4 m吗?为什么?
(3)亮亮在活动中发现无论梯子怎么滑动,在滑动的过程中梯子上总有一个定点到墙角O的距离始终是不变的定值,会思考问题的你能说出这个点并说明其中的道理吗?
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【题目】如图,直线与x轴交于点B,与y轴交于点A,以线段AB为边,在第一象限内作正方形ABCD,点C落在双曲线()上,将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度,使点D恰好落在双曲线()上的点D1处,则a= .
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+1过A(1,0)、B,(5,0)两点.
(1)求:抛物线的函数表达式;
(2)求:抛物线与y轴的交点C的坐标及其对称轴
(3)若抛物线对称轴上有一点P,使△COA∽△APB,求点P的坐标.
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【题目】两会期间,记者随机抽取参会的部分代表,对他们某天发言的次数进行了统计,其结果如表,并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图,请结合图中相关数据回答下列问题:
发言次数n | |
A | 0≤n<3 |
B | 3≤n<6 |
C | 6≤n<9 |
D | 9≤n<12 |
E | 12≤n<15 |
F | 15≤n<18 |
(1)求得样本容量为 , 并补全直方图;
(2)如果会议期间组织1700名代表参会,请估计在这一天里发言次数不少于12次的人数;
(3)已知A组发表提议的代表中恰有1为女士,E组发表提议的代表中只有2位男士,现从A组与E组中分别抽一位代表写报告,请用列表法或画树状图的方法,求所抽的两位代表恰好都是男士的概率.
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【题目】综合与探究
阅读材料:
数轴是学习有理数的一种重要工具,任何有理数都可以用数轴上的点表示,这样能够运用数形结合的方法解决一些问题.例如,两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示;
在数轴上,有理数3与1对应的两点之间的距离为|3﹣1|=2;
在数轴上,有理数5与﹣2对应的两点之间的距离为|5﹣(﹣2)|=7;
在数轴上,有理数﹣2与3对应的两点之间的距离为|﹣2﹣3|=5;
在数轴上,有理数﹣8与﹣5对应的两点之间的距离为|﹣8﹣(﹣5)|=3;……
如图1,在数轴上有理数a对应的点为点A,有理数b对应的点为点B,A,B两点之间的距离表示为|a﹣b|或|b﹣a|,记为|AB|=|a﹣b|=|b﹣a|.
解决问题:
(1)数轴上有理数﹣10与﹣5对应的两点之间的距离等于 ;数轴上有理数x与﹣5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为 ;若数轴上有理数x与﹣1对应的两点A,B之间的距离|AB|=2,则x等于 ;
联系拓广:
(2)如图2,点M,N,P是数轴上的三点,点M表示的数为4,点N表示的数为﹣2,动点P表示的数为x.
请从A,B两题中任选一题作答,我选择 题.
A.①若点P在点M,N两点之间,则|PM|+|PN|= ;
②若|PM|=2|PN|,即点P到点M的距离等于点P到点N的距离的2倍,则x等于 .
B.①若点P在点M,N之间,则|x+2|+|x﹣4|= ;
若|x+2|+|x﹣4|═10,则x= ;
②根据阅读材料及上述各题的解答方法,|x+2|+|x|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值等于 .
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